11.1.3  多目标优化

前面介绍的最优化方法只有一个目标函数，是单目标最优化方法。但是，在许多实际工程问题中，往往希望多个指标都达到最优值，所以就有多个目标函数，这种问题称为多目标最优化问题。

多目标规划有许多解法，下面列出常用的几种。

(1)化多为少法：将多目标问题化成只有1个或2个目标的问题，然后用简单的决策方法求解。最常用的是线性加权和法。

(2)分层序列法：将所有的目标按其重要程度依次排序，先求出第1个(最重要的)目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。

(3)直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。

(4)目标规划法：当所有的目标函数和约束条件都是线性时，可以采用目标规划法，它是20世纪60年代初由查纳斯和库珀提出来的。此方法对每一个目标函数都事前给定一个期望值，然后在满足约束条件集合的情况下，找出使目标函数离期望值最近的解。

(5)多属性效用法(MAUM)：各个目标分别用各自的效用函数表示，然后构成多目标综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。

(6)层次分析法：由T.沙基于1980年提出来。这种方法是通过对目标、约束条件、方案等的主观判断，对各种方案加以综合权衡比较，然后评定优劣。

(7)重排次序法：把原来不好比较的非劣解，通过其他办法排出优劣次序。此外，还有多目标群决策和多目标模糊决策等方法。

针对多目标优化问题，MATLAB提供了fgoalattain和fminimax 函数用来进行求解。篇幅有限，这里仅举例说明fgoalattain函数的用法，fminimax函数的用法读者可自行查阅帮助文档。

【例11-7】  某工厂因生产需要欲采购一种原材料，市场上这种原材料有两个等级，甲级单价2元/千克，乙级单价1元/千克。要求所花总费用不超过200元，购得原材料总量不少于100千克，其中甲级原材料不少于50千克，问如何确定最好的采购方案。

设x1、x2分别为采购甲级和乙级原材料的数量(千克)，要求总采购费用尽量少，总采购重量尽量多，采购甲级原材料尽量多。

首先需要编写目标函数的M文件myfun4.m，返回目标计算值。具体代码如下：

function f=myfun4(x)
f(1)=2*x(1)+ x(2);
f(2)=-x(1)- x(2);
f(3)=-x(1);

给定目标，权重按目标比例确定，给出初始值。具体代码如下：

>> goal=[200 -100 -50];       %  要达到的目标
>> weight=[2040 -100 -50];   %  各个目标的权重
>> x0=[55 55];                  %  搜索的初始值
%  约束条件
>> A=[2 1;-1 -1;-1 0];
>> b=[200 -100 -50];
>> lb=zeros(2,1);
%  调用fgoalattain函数进行多目标优化
>> [x,fval,attainfactor,exitflag] =...
fgoalattain(@myfun4,x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[])

经过计算，MATLAB输出计算结果为：

x =
    50    50
fval =
   150  -100   -50
attainfactor =
  3.4101e-010
exitflag =
     4

所以，对于给定的权重比例，最好的采购方案是采购甲级原材料和乙级原材料各50千克。此时采购总费用为150元，总重量为100千克，甲级原材料总重量为50千克。