前言

本篇博客出于学习交流目的,主要是用来记录自己学习多目标优化中遇到的问题和心路历程,方便之后回顾。过程中可能引用其他大牛的博客,文末会给出相应链接,侵删!

REMARK:本人纯小白一枚,0基础,如有理解错误还望大家能够指出,相互交流。也是第一次以博客的形式记录,文笔烂到自己都看不下去,哈哈哈


在本篇正文中主要推荐个人觉得有帮助的文章以及分析自己对Pareto的相关定义的理解,笔者在刚开始时候毫无头绪,希望下面的一些基础能对不幸看到这篇博客的你有一点点小帮助。

正文

在多目标优化问题中,有许多预备知识需要具备,许多繁琐的基础概念我就不赘述了(摊手)。可以参考多目标优化这篇文章,作者给出了比较综合的叙述。如果有需要了解粒子群算法,遗传算法,蚁群算法可以参考以下链接:

粒子群算法系列文章 作者比较系统的讲解了粒子群算法,包括其主要变种方向。
蚁群算法 作者给出了一个在线网页模型,有助于理解。

在多目标优化问题中有许多算法都是基于Pareto支配关系的,知乎上如何通俗的理解Pareto的生动例子有助于我等小白理解其现实意义。下面给出Pareto的数学形式和定义。

定义

Definition 1: 多目标优化问题(multi-objective optimization problem(MOP))

多目标优化的权重问题_粒子群算法
多目标优化的权重问题_粒子群算法_02为多目标优化结果,多目标优化的权重问题_多目标_03为目标分量,m为目标数。

Definition 2: Pareto支配(Pareto Dominance)

在最小化优化问题中,当且仅当多目标优化的权重问题_粒子群算法_04, 多目标优化的权重问题_多目标优化的权重问题_05, 且 $\exists {j} \in {1,2,…,m} $ s.t.多目标优化的权重问题_多目标_06,我们称 多目标优化的权重问题_多目标_07支配多目标优化的权重问题_多目标优化_08 (有些场合也称为 多目标优化的权重问题_多目标_07占优于多目标优化的权重问题_多目标优化_08 ),记作 多目标优化的权重问题_多目标优化的权重问题_11

换句话说,在最小化优化问题中,多目标优化的权重问题_多目标_07至少存在一个目标分量中小于多目标优化的权重问题_多目标优化_08,并且其他目标分量也不会比多目标优化的权重问题_多目标优化_08大,我们希望得到尽量小的解,那么越小就越优,开始的时候我纠结过为什么用 ‘多目标优化的权重问题_粒子群算法_15 ’符号,多目标优化的权重问题_多目标_07 更优秀不是应该用‘多目标优化的权重问题_粒子群算法_17’符号? 在阅读NSGA-II算法后,我理解的是,越优的解所处的前沿面序号越小,所以使用‘多目标优化的权重问题_多目标优化的权重问题_18 ’表示多目标优化的权重问题_多目标_07支配多目标优化的权重问题_多目标优化_08

Definition 3: Pareto最优解(Pareto Optimal Solution)

如果一个解多目标优化的权重问题_粒子群算法_21被称之为Pareto optimal solution, 当且仅当 多目标优化的权重问题_粒子群算法_21不被其他的解支配。

Definition 4: Pareto 集(Pareto Set)

一个多目标优化问题(MOP),对于一组给定的最优解集,如果这个集合中的解是相互非支配的,也即两两不是支配关系,那么则称这个解集为Pareto Set 。

多目标优化的权重问题_多目标_23


如上图所示,每个黑点都表示为Pareto optimal solution,而每个红点至少被一个黑点支配,黑色点组成的集合即为多目标优化的权重问题_多目标优化_24

Definition 5: Pareto 前沿(Pareto Front)

Pareto Set 中每个解对应的目标值向量组成的集合称之为Pareto Front, 简称为PF。

总结

本篇博客对刚涉足多目标优化的人可能会有所帮助。

参考链接:如何通俗的理解Pareto