python 离散傅里叶变换函数双变量 离散傅里叶变换结果

关于六种傅里叶变换的介绍

傅里叶变换，从时域连续与否、时域周期与否，一共有四种变化CTFT、CTFS、DTFT、DFS，再加上有限长度的离散信号的离散傅里叶变换DFT和快速傅里叶变换FFT，一共是六种变换。接下来我将分别介绍这几种变化的公式。

• 连续时间：continuous time，缩写成CT；
• 离散时间：discrete time，缩写成DT；
• 傅里叶变换：fourier transform，缩写成FT；
• 傅里叶级数：fourier series，缩写成FS。

一、连续时间的傅里叶变换

（1）CTFS，通常称为FS

时域连续，且具有周期性的函数，可以求出其傅里叶级数，求出离散的非周期的频谱。
$\Large \begin{aligned}c_n &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} x(t)e^{-jn \omega_0 t}dt \\ x(t) &= \sum_{-\infty } ^\infty c_n e^{jn \omega_0 t} \end{aligned}$

（2）CTFT，通常成为FT

时域连续，且具有非周期性的函数，可以进行傅里叶变换，求出连续的非周期的频谱。
$\Large \begin{aligned}X(\omega) &= \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j \omega t}dt \\ x(t) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(\omega)e^{j \omega t}d\omega \end{aligned}$

（3）等式成立的条件

值得注意的是求傅里叶级数的系数，也就是求$c_n$的时候，需要满足狄利克雷条件：

1. 在任意一个周期内，连续或者只有有限个第一类间断点
2. 在任意一个周期内，只有有限个极值
3. 在任意一个周期内，函数绝对可积

进行傅里叶变换，求$X(\omega)$的时候，需要满足

• 函数 $x(t)$在时间间隔 $(-\infty\:,\:\infty)$上是绝对可积的，$\mathrm{\int_{−\infty}^{\infty}| X(t)|dt\:<\infty}$
• 函数 x(t)在每个有限的时间间隔内具有有限数量的最大值和最小值。
• 函数 $x(t)$在每个有限的时间间隔内具有有限数量的不连续性。

（4）奇异函数——$\delta(t)$

首先要注意到一个矛盾，对于一个周期函数而言，比如$sin(2\pi t)$，满足了在一个周期上绝对可积，显然就不满足从负无穷到正无穷的绝对可积（常数函数0除外）。

其矛盾的关键在于，如果对$sin(2\pi t)$进行傅里叶变换，那么$X(2\pi)=\infty$，为了解决在某个时刻函数值趋近于无穷的问题，引入了狄拉克函数$ \delta(t) = \begin{cases} \infty,t=0 ,\0,t\ne0 \end{cases}$，它从负无穷到正无穷的积分为1，称为冲激强度。在不同垂直领域内叫法不一样，有的叫奇异函数，有的叫冲激函数。

一个细节：需要把冲激和脉冲分开，冲激（impulse）只在一个时间点上函数值为无穷，且积分为1，而脉冲（pulse）是在一个短时间内的函数值远大于其他时间的值。

通过奇异函数，就将傅里叶级数和傅里叶变换统一起来了，这是一个非常伟大的突破。

二、离散时间的傅里叶变换

（1）DTFT

时域离散，且具有非周期性的函数，可以求出连续的周期的频谱。周期为$2\pi$
$\Large \begin{aligned}X(\omega) &= \sum_{-\infty}^\infty x[n]e^{-j \omega n} \\ x[n] &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(\omega)e^{j \omega n}d\omega \end{aligned}$
在离散的时间域上，其时间间隔，或者说采样间隔，在单纯的离散时间分析的时候，不是本文关注的重点。采样时间是联系模拟世界（连续）和数字世界（离散）的桥梁。

（2）DFS

时域离散，且具有周期性的函数，可以求出其离散傅里叶级数，即离散的周期的频谱。
$\Large \begin{aligned}\widetilde X[k] &= \sum_{<n>_N} \widetilde x[n]e^{-j k \frac{2\pi}{N} n} \\ \widetilde x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{<k>_N} \widetilde X[k]e^{j k \frac{2\pi}{N} n} \end{aligned}$

（3）DFT

首先要明确，一个N点的序列，和一个N点的周期序列，两者的信息量是相同的，换句话说就是等价的。因此，面对有限长度的序列，采用DFT：
$\Large \begin{aligned} X[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j k \frac{2\pi}{N} n} \\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} X[k]e^{j k \frac{2\pi}{N} n} \end{aligned}$
将DFT和DFS对比，我们发现求和符号和时频函数记号有区别。先说时频函数记号，DFS带有一个波浪号的帽子，表示这是周期函数，定义域为负无穷到正无穷。DFT的函数记号没有波浪号，表示它是有限长度的函数。正是这个原因，导致求和符号，DFS要取模运算，而DFT直接从0到N-1。

（4）FFT

FFT是DFT的快速运算方法，将运算复杂度从$O(n^2)$降低到$O(n\log n)$。

注意到，在实际应用中（使用计算机处理信号），我们面对的都是有限长度的离散信号，因此使用的都是DFT，为了加快运算速度，采用的是FFT。下图是matlab的帮助文档，关于向量的离散傅里叶变换的内容，可参阅：MATLAB fft

---

以上是关于六种傅里叶变换的介绍，实际上关于傅里叶分析还有很多内容，包括傅里叶变换的性质、傅里叶变换的正交基、如何用采样频率将连续变换和离散变换联系起来、各个傅里叶变换对应的图形、FFT的蝶形结等。往下还有卷积定理、圆周卷积、维纳-辛钦定理、相关运算，往上还有随机信号的谱分析、理想内插、滤波器设计等。（以上内容限于本人水平，不尽准确、不尽完备，仅供大家参考，并欢迎大家指正。）