傅里叶变换落地：离散傅里叶变换（DFT）

文章目录

• 傅里叶变换落地：离散傅里叶变换（DFT）

• 1 傅里叶变换中连续到离散的演化

• 1.1 由傅里叶变换(FT)演化出离散时间傅里叶变换(DTFT)
• 1.2 离散时间傅里叶变换(DTFT)演化出离散傅里叶变换（DFT）
• 1.3 傅里叶级数（FS）演化出离散傅里叶级数（DFS）
• 1.4 离散傅里叶级数（DFS）演化出离散傅里叶变换（DFT）

• 2 五种傅里叶变换的比较

傅里叶级数详解

无限周期为非周期：傅里叶变换

傅里叶变换落地：离散傅里叶变换（DFT）

进入正文之前，我们还是以矩形波为例，分别看看时域、频域在连续与离散时的情况。

时域连续，频域离散：

时域离散，频域离散：

时域连续，频域连续：

动图来源[3]

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1 傅里叶变换中连续到离散的演化

离散化的目的：以计算机为代表的数字处理系统只能存储和处理有限长度的离散数字信号，且无法直接进行连续积分运算。 所以需要对信号离散化。

1.1 由傅里叶变换(FT)演化出离散时间傅里叶变换(DTFT)

离散时间意思：仅仅时域离散，频域不离散。

傅里叶变换：

F ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t F(jω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt

由采样定理知，序列可以看作在满足采样定理的条件下对连续信号进行采样得到， d t → Δ t dt\rightarrow \Delta t dt→Δt为间隔； t → n Δ t t\rightarrow n\Delta t t→nΔt； ∫ → ∑ \int\rightarrow \sum ∫→∑

则有：

X ( j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ⋅ Δ t ] e − j ω n Δ t Δ t X(j \omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n \cdot \Delta t] e^{-j \omega n \Delta t} \Delta t X(jω)=n=−∞∑∞x[n⋅Δt]e−jωnΔtΔt

将时域间隔单位归一化后( Δ t \Delta t Δt取1)，得到：

X ( j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j ω n X(j \omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n} X(jω)=n=−∞∑∞x[n]e−jωn

上式是将连续傅里叶变换中的时域信号进行离散化后得到，称离散时间傅里叶变换（DTFT－Discrete-time Fourier Transform）。

但是，DTFT仍未达到便于数字系统处理的目的。：

（1）时域序列的长度仍然是无限长的。

（2）信号在​频域仍然是连续​的。

因此，还需要对频域信号进行离散化。演化出DFT

1.2 离散时间傅里叶变换(DTFT)演化出离散傅里叶变换（DFT）

实际上，对DTFT而言，其频域变换结果是以 2 π 2π 2π 为周期的连续周期函数 e − j w n e^{-jwn} e−jwn。

为此，对时限信号在频域内以 2 π N \frac{2\pi}{N} N2π为间隔对DFTF的变换结果进行频域取样（把 2 π 2\pi 2π分为 N − 1 N-1 N−1段，即有 N N N个点，第 k k k个点为： ω → k ⋅ 2 π N \omega\rightarrow k\cdot\frac{2\pi}{N} ω→k⋅N2π），​截取一个频域周期 0 ≤ k ≤ N − 1 0 \le k\le N-1 0≤k≤N−1​。

DTFT中 x [ n ] x[n] x[n]是无限长的，现在把它限制在有限长 0 ≤ n ≤ N − 1 0\le n\le N-1 0≤n≤N−1，综上，有：

X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π N n k , 0 ≤ k ≤ N − 1 X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} n k}, \quad 0 \le k\le N-1 X[k]=n=0∑N−1x[n]e−jN2πnk,0≤k≤N−1

显然上式在频域内也是离散且有限的，这非常适合于计算机等数字信号处理系统来进行处理。该式实际上给出的是非周期离散序列的离散傅里叶变换 (DFT- Discrete Fourier Transform)。

1.3 傅里叶级数（FS）演化出离散傅里叶级数（DFS）

对周期为 T T T的连续信号 x ~ ( t ) \tilde{x}(t) x~(t)而言，其傅里叶级数为:

X ( j k Ω ) = 1 T ∫ 0 T x ~ ( t ) e − j k Ω t d t X(j k \Omega)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \tilde{x}(t) e^{-j k \Omega t} d t X(jkΩ)=T1​∫0T​x~(t)e−jkΩtdt

其中 Ω = 2 π T \Omega=\frac{2\pi}{T} Ω=T2π，它也是频域中两条相邻谱线的间隔（也就是说FS是时域连续，频域离散的）。

说明：若要将周期信号在时域内进行离散化，只需以恰当的采样率进行采样，即可得到对应的周期序列。

对周期为 N N N的周期离散序列 x ~ ( n ) \tilde{x}(n) x~(n)而言，时域积分演变为离散求和，因此有

X ~ ( k ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ~ ( n ) e − j k 2 π N n − ∞ < k < + ∞ \tilde{X}(k)=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \tilde{x}(n) e^{-j k \frac{2\pi}{N} n} \quad -\infty \lt k\lt +\infty X~(k)=N1n=0∑N−1x~(n)e−jkN2πn−∞<k<+∞

上式即离散傅里叶级数（DFS- Discrete Fourier Series）。

1.4 离散傅里叶级数（DFS）演化出离散傅里叶变换（DFT）

若离散周期序列 x ~ ( n ) \tilde{x}(n) x~(n)的一个周期取出来，记作 x ( n ) {x}(n) x(n)并且将DFS变换结果中的一个周期取出来，记作 X ( j k Ω ) X(jk\Omega) X(jkΩ)则有：

X ( k ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j k 2 π N n , 0 ≤ k ≤ N − 1 X(k)=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j k \frac{2\pi}{N} n}, \quad 0\le k\le N-1 X(k)=N1n=0∑N−1x(n)e−jkN2πn,0≤k≤N−1

上式本质上与离散傅里叶变换（DFT）相同（仅差一个 1 N \frac{1}{N} N1）。由此可见，离散傅里叶变换(DFT)可以从DTFT延伸而来，也可以认为是从DFS演变得到。

2 五种傅里叶变换的比较

可以观察到：除了截取周期的DFT，计算公式带积分的是非周期的，计算公式带累加符号的是周期的。

结合前述特性图示可知，除离散傅里叶变换外，若某个信号在​时域（或频域）内​是​周期的​，则经变换 （或反变换）后其变换结果在​频域（或时域）内​是​离散的​；若信号在​时域（或频域）内​是​离散的​，则其变换（或反变换）结果在​频域（或时域）内​是​周期的​。​周期性和离散性呈现出对偶关系​。

​离散傅里叶变换​（DFT）提供了一种在​时域和频域内均是离散​的信号变换方法。不过，当信号采样点数过多时，离散傅里叶变换计算量特别大，导致计算需要消耗许多时间。因此，技术上我们采用的是DFT的改进计算方法——快速傅里叶变换（FFT）。

本文暂不讲解。

参考：

[1] 中国大学MOOC：数字信号处理，北京交通大学， 陈后金

[2] 中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟

[3]https://www.bilibili.com/video/BV1MJ41147PH/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.0