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离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，增大了数字信号处理的灵活性。

一、DTF的定义

设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变化为：

逆变换为：

二、DFT与傅里叶变换的关系

上述式子说明了：DFT的X(k)是x(n)傅里叶变换X(e^jw)在区间[0,2π]上的N点等间隔采样。

三、DFT与Z变换的关系

**上述式子说明了：DFT的X(k)是Z变换X(z)在单位圆上的N点等间隔采样

四、DFT的性质

（1）线性

（2）循环位移

设x(n)为有限长序列。长度为M，M≤N，则x(n)的循环位移为

循环过程如下所示：

（3)时域循环移位定理

设x(n)是长度为M(M≤N)的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位。即:

则：

证明过程如下：

令n+m=n’，则有

（4)频域循环移位定理

同（3）

（4)复共轭序列的DFT

设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，则

证明如下，根据DFT唯一性

五、用DFT进行谱分析的误差

(1)混叠现象：

对连续信号进行谱分析时，首先要对其采样，由时域连续变时域离散信号，再用DFT（FFt）进行谱分析。采样速率必须满足采样定理，否则会在w=π附近发生频率混叠现象。
对于Fs确定的情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率Fs/2的频率成分

（2）栅栏效应：

N点DFT是在频率区间[0,2π]上对时域离散信号的频谱进行N点等间隔采样，二采样点之间的频谱是看不到的。
采用提高频率分辨率，对原序列尾部补零，增大截取长度及DFT变换区间长度等方法解决栅栏效应

（3）截断效应

对无限长序列进行谱分析时，需要将其截断 成有限长序列。
影响有
（1）泄露
（2）谱间干扰

六、用Python语言编写DFT算法

编程思路：

1、利用欧拉公式

得到

2、幅值计算

计算sin(0.4pin+pi/3)+10sin(0.2pin+pi/4)

代码如下：

from math import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def signal(n):
    return (sin(0.4 * pi * n + pi / 3) + 10 * sin(0.2 * pi * n + pi / 4))

# 生成WN项
def wn_k(k, n, N):
    return complex(cos(2 * pi * n * k / N), sin(-2 * pi * n * k / N))

amplitude = []  # 准备一个空列表
power_spectrum = []
sums = 0

# 256点DFT，X(0)到X(255)
for k in range(0, 256):
    for n in range(1, 257):
        # n的取值为从1到256
        sums = sums + signal(n) * wn_k(k, n, 256)
    amplitude.append(sums)
    sums = 0

print(amplitude, len(amplitude))

for i in range(0, 256):
    power_spectrum.append(amplitude[i] ** 2)


plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(np.abs(amplitude))
plt.title("amplitude_spectrum")
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(np.abs(power_spectrum))
plt.title("power_spectrum")
plt.show()