【离散数学】第五章 关系与函数(1)

关系是集合元素之间存在的某种关联性。

5.1 关系及关系的性质

定义5.1 设A，B两个集合，$A \times B$的子集R称为从A到B的二元关系。特别地，当A=B时，称R为A上的关系。如果$<x,y> \in R$，可记作$x R y$，称x与y有关系R；

如果$<x,y>\notin R$，则记作$x \not{R} y$；称x与y没有关系R。

显然A到B的二元关系也是有序对集合。但是它与笛卡儿积是不同的；关系可能仅在两个集合的部分元素之间有定义，没有定义的元素之间不存在关系。而笛卡儿积是两个集合全部元素之间都有定义。

笛卡儿积可以理解是一种非常特殊的关系。它的定义域是集合A，值域是集合B。

二元关系中有几个特殊的关系：

• 空关系
• 全域关系(全关系)
• 恒等关系

定义5.2 对任意集合A，

称$E_A = \{<x,y> | x \in A \land y \in A\} = A \times A$ 为A上的全域关系或者全关系； # 特殊的笛卡儿积

称$I_A = \{<x,x>| x \in A\}$ 为A上的恒等关系；

若A上的关系$R = \emptyset$，称为A上的空关系。

例5.1 $A = \{0,1,2\}$求$E_A$和$I_A$。

解：

$E_A = \{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>\}$

$I_A = \{<0,0>,<1,1>,<2,2>\}$

例5.3 设$A = \{-2,0,3,6\}$求A上的小于等于关系$LE_A$和A上的整除关系$D_A$ 。

解：

$LE_A = \{<x,y> | (x \in A) \land (y \in A) \land (x \le y)\}$，因此：

$LE_A = \{<-2,-2>,<-2,0>,<-2,3>,<-2,6>,<0,0>,<0,3>,<0,6>,<3,3>,<3,6>,<6,6>\}$

$D_A = \{<x,y> | (x \in A) \land (y \in A) \land (\frac{y}{x} \in Z)\}$，因此：

$D_A = \{<-2,-2>,<-2,0>,<-2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>,<6,0>,<6,6>\}$

定义5.3 设R是集合A上的二元关系：

(1)R中所有有序对的第一个元素构成的集合称为R的定义域(Domain)；记作$domR$，表示为：$domR = \{x | \exists y(<x,y> \in R)\}$ 。

(2)R中所有有序对的第二个元素构成的集合称为R的值域(Range)；记作$ranR$，表示为：

$ranR = \{y | \exists x (<x,y> \in R)\}$。

(3)R的定义域和值域的并集称为R的域，记作$fldR$，表示为：

$fldR = domR \cup ranR$。

5.1.1 关系的表示

表示关系除了有序对集合外，还可以使用关系矩阵和关系图。

关系矩阵

设给定两个集合(有限集)：$X = \{x_1,x_2,...,x_m\}，Y = \{y_1,y_2,...,y_n\}$，R为X到Y的二元关系，称矩阵$M_R = (r_{ij})_{m \times n}$为对应R的关系矩阵，其中：

$r_{ij}= \left\{ \begin{array}{c} 1 \ \ \ \ ,当<x_i,y_i> \in R\\ 0 \ \ \ \ ,当<x_i,y_i> \notin R\\ \end{array} \right.$

直观地说当元素$x_i$和$y_j$有关系时，关系矩阵的第$i$行第$j$列处的值时$1$；当元素$x_i$和$y_j$没有关系时，关系矩阵的第$i$行第$j$列处的值时$0$。若R是含n个元素集合A上的关系，则关系矩阵为$n \times n$的方阵。关系矩阵也称为布尔矩阵。关系矩阵中值为1 的元素个数与R中的有序对个数相等。

例5.5 设$A = \{-2,0,3,6\}$试以关系矩阵来表示$LE_A$和$D_A$。

解：

$LE_A$的关系矩阵：

$M_{LE_A}= \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right] \tag{1}$

$D_A$的关系矩阵：

$M_{D_A}= \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right] \tag{2}$

关系R中的二元组和关系矩阵可以互相转化。

例：设$X = \{x_1,x_2,x_3\}$，$Y = \{y_1,y_2,y_3,y_4,y_5\}$的关系矩阵如下：

$M_{R}= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right] \tag{3}$

写出关系R的二元组。

解：

$R = \{<x_1,y_2>,<x_2,y_1>,<x_2,y_3>,<x_2,y_4>,<x_3,y_1>,<x_3,y_3>,<x_3,y_5> \}$

X为行，Y为列

关系图

关系图试一种直观的表示关系的方法；使用点代表集合元素，有向边代表源到目标的关系。

R中的一个有序对对应一个有向边。

例如：$X = \{x_1,x_2,x_3,x_4\}$，$Y = \{y_1,y_2,y_3,y_4,y_5\}$之间的关系可以表示为：

因此；关系可以是：

• 一对多
• 多对一
• 无关系

例5.7 设$A = \{-2,0,3,6\}$试画出$LE_A$的关系图。

解：关系图如下所示：

5.1.2 关系的性质

定义5.4 设R是集合A上的二元关系：

(1)若对$\forall a \in A$，必有$a R a$，则称关系R在A上是自反的。 # 一个也不能少，可以多 （$\tilde{R}$代表R的自反关系）

(2)若对$\forall a \in A$，必有$a \not{R} a$，则称关系R在A上是反自反的。 # 一个也不能有

(3)若对$\forall a,b \in A$，若$a R b$时必有$b R a$，则称关系R在A上是对称的。 # 一个也不能少，可以多

(4)若对$\forall a,b \in A$，若$a R b$且$b R a$时必有$a=b$，则称关系R在A上是反对称的。 # 只在a=b时对称

(5)若对$\forall a,b,c \in A$，若$a R b$且$b R c$时必有$a R c$，则称关系R在A上是传递的。 # a、b符合关系R，b、c符合关系R；若a、c也符合关系R则这种关系就是传递的。

关系R可以不是自反也不是反自反的。但是R是自反的，那么它肯定不是反自反的；反之同样。

关系R可以不是对称也不是反对称的。但是R是对称的，那么它肯定不是反自反的；反之同样【特别注意：恒等关系和空关系除外】。

一些常见关系的性质：

关系	自反性	反自反性	对称性	反对称性	传递性
全域关系$E$	$\surd$		$\surd$		$\surd$
恒等关系$I$	$\surd$		$\surd$	$\surd$	$\surd$
空关系$\emptyset$		$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$
小于等于关系$LE_A$	$\surd$			$\surd$	$\surd$
小于关系$L_A$		$\surd$		$\surd$	$\surd$
整除关系$D_A$	$\surd$			$\surd$	$\surd$

5.2 关系运算

5.2.1 关系的常规运算

关系是由二元组构成的集合，所以对集合的运算可以应用在关系上。

定理5.1 若Z和S是从集合X到Y的两个关系，则Z和S的交、并、补、差仍然是X到Y的关系。

定义5.5 设R是X到Y的二元关系，若将R中的每一个二元组中的元素顺序互换，所得到的集合称为R的逆关系，简称R的逆；记作：$R^{-1}$或$R^c$，即$R^{-1} = \{<y,x> | <x,y> \in R\}$。

定理5.2 若$R、R_1、R_2$都是从A到B的二元关系，则：

①$(R^{-1})^{-1} = R$

②$(R_1 \cup R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cup R_2^{-1}$

③$(R_1 \cap R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cap R_2^{-1}$

④$(\tilde{R})^{-1} = \tilde{R^{-1}}$ # 整个仔细琢磨下；$\tilde{R}$代表R的自反关系

⑤$(A \times B)^{-1} = B \times A$

⑥$(R_1 - R_2)^{-1} = R_1^{-1} - R_2^{-1}$

⑦若$R_1 \subseteq R_2$，则$R_1^{-1} \subseteq R_2^{-1}$

⑧$domR^{-1} = ranR$

⑨$ranR^{-1} = domR$

5.2.2 复合关系

定义5.6 设R为A到B的关系，S为B到C的关系，则R \circ S称为R和S的复合关系，表示为：$R \circ S = \{<x,y> | \exists t [(<x,t> \in R) \land (<t,y> \in S)]\}$ ；这样定义的复合关系称为右复合（运算次序从左到右，即先进行R运算，再进行S运算）。反之，称作左复合。

例5.11 设$A = \{p,q,r,s\}，B=\{a,b\}，C = \{1,2,3,4\}$，从A到B的关系$R_1$及从B到C的关系$R_2$为：

$R_1 = \{<p,a>,<p,b>,<q,b>,<r,a>,<s,a>\}，$

$R_2 = \{<a,1>,<a,2>,<b,4>\}$

求从A到C的复合关系。

解：

从A到C的复合关系：

$R_1 \circ R_2 = \{<p,1>,<p,2>,<p,4>,<q,4>,<r,1>,<r,2>,<s,1>,<s,2>\}$

定理5.3 设F是X到Y的关系，G是Y到Z的关系，H是Z到W的关系，则：

(1)$(F \circ G) \circ H = F \circ (G \circ H)$

(2)$(F \circ G)^{-1} = G^{-1} \circ F^{-1}$ # 这里特别注意不要写反了；$R_1^{-1} \circ R_2^{-1} \neq R_2^{-1} \circ R_1^{-1}$

定义5.7 设R是集合A上的关系，幂$R^n(n=1,2,...)$递归地定义为：$R^1 = R,R^2 = R^1 \circ R,...,R^n = R^{n-1} \circ R$。

例5.12 设$R = \{<1,1>,<2,1>,<3,2>,<4,3>\}$，求$R^n,(n=2,3,...)$。

解：由已知$R = \{<1,1>,<2,1>,<3,2>,<4,3>\}$得：

$R^2 = R \circ R = \{<1,1>,<2,1>,<3,1>,<4,2>\}$ ，

$R^3 = R^2 \circ R = \{<1,1>,<2,1>,<3,1>,<4,1>\}$，

$R^4 = R^3 \circ R = \{<1,1>,<2,1>,<3,1>,<4,1>\} = R^3$ ，

对于$n \ge 3$均有$R^n = R^3 = \{<1,1>,<2,1>,<3,1>,<4,1>\}$。

5.2.3 关系矩阵的布尔运算

已知关系R的关系矩阵为$M_R$，则逆关系$R^{-1}$的关系矩阵为$M_R$的转置矩阵$M_R^T$。

关系矩阵可以表示关系，同样地关系运算也可以通过矩阵的布尔运算体现出来；布尔运算的定义如下：

$0 \lor 0 = 0,\ \ \ \ 0 \lor 1 = 1,\ \ \ \ 1 \lor 0 = 1,\ \ \ \ 1 \lor 1 = 1$

$0 \land 0 = 0,\ \ \ \ 0 \land 1 = 0,\ \ \ \ 1 \land 0 = 0,\ \ \ \ 1 \land 1 = 1$

n个元素的集合A：

$\left\{ \begin{array}{c} R_1 \rightarrow M_{R_1}\\ R_2 \rightarrow M_{R_2}\\ \end{array} \right.$

则$R_1 \cup R_2$的关系矩阵为$M_{R_1 \cup R_2}$；$R_1 \cap R_2$的关系矩阵为$M_{R_1 \cap R_2}$。

$\left\{ \begin{array}{c} M_{R_1 \cup R_2} = M_{R_1}[i,j] \lor M_{R_2}[i,j]\\ M_{R_1 \cap R_2} = M_{R_1}[i,j] \land M_{R_2}[i,j]\\ \end{array} \right.$

即：$M_{R_1 \cup R_2} = M_{R_1} \lor M_{R_2}，M_{R_1 \cap R_2} = M_{R_1} \land M_{R_2}$。

例5.13 设集合A上的关系R_1和R_2的关系矩阵如下：

$M_{R_1}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{1}$

$M_{R_2}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{2}$

求$R_1 \cup R_2、R_1 \cap R_2$的关系矩阵。

解：

$M_{R_1 \cup R_2}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{1}$

$M_{R_1 \cap R_2}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{2}$

定理5.4 设$A = \{a_1,a_2,...,a_m\}，B = \{b_1,b_2,...,b_n\}，C = \{c_1,c_2,....c_r\}$。从A到B的关系$R_1$的关系矩阵$M_{R_1} = x_{ij}$是$m \times n$阶的矩阵；从B到C的关系$R_2$的关系矩阵$M_{R_2} = y_{ij}$是$n \times r$阶矩阵；那么$R_1$和$R_2$的复合关系$R_1 \circ R_2$是从A到C的关系，其关系矩阵：$M_{R_1 \circ R_2} = z_{ij}$是$m \times r$阶矩阵，且$z_{ij} = \lor_{k=1}^n(x_{ik} \land y_{kj})；i = 1,2,...,m;\ \ j=1,2,...,r$。

实际上：$R_1 \circ R_2$的结果是2个关系的布尔乘法运算的结果。

例5.14 求例5.13中$R_1$与$R_2$的复合关系$R_1 \circ R2$的关系矩阵$M_{R_1 \circ R_2}$。

解：

$M_{R_1 \circ R_2} = M_{R_1} \cdot M_{R_2}= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ \end{matrix} \right] \ \ \cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{1}$

$= \left[ \begin{matrix} (1\land1) \lor (0\land0) \lor (1\land1) & (1\land0) \lor (0\land1) \lor (1\land0) & (1\land1) \lor (0\land1) \lor (1\land0)\\ (1\land1) \lor (0\land0) \lor (0\land1) & (1\land0) \lor (0\land1) \lor (0\land0) & (1\land1) \lor (0\land1) \lor (0\land0)\\ (0\land1) \lor (1\land0) \lor (0\land1) & (0\land0) \lor (1\land1) \lor (0\land0) & (0\land1) \lor (1\land1) \lor (0\land0)\\ \end{matrix} \right]$

$= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ \end{matrix} \right]$

计算过程逻辑如下：

例5.15 给定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A上定义两种关系：

R = {<2,1>,<4,3>,<3,2>,<5,1>}，

S = {<2,4>,<5,2>,<1,3>,<3,1>}

求$R \circ S$和$S \circ R$

解：①写出$R \circ S$和$S \circ R$

$R \circ S = \{<2,3>,<4,1>,<3,4>,<5,3>\} = \{<2,3>,<3,4>,<4,1>,<5,3>\}$

$S \circ R = \{<2,3>,<5,1>,<1,2>\} = \{<1,2>,<2,3>,<5,1>\}$

[扩展部分]

②写出R和S的矩阵$M_R$和$M_S$

$M_{R}= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{1}$

$M_{S}= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{2}$

③计算并写出$R \circ S$的关系矩阵$M_{R \circ S}$

$M_{R \circ S}= \left[ \begin{matrix} (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1) & (0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\\ (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1) & (1\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (1\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\\ (0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1) & (0\land 1)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(1\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\\ (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1) & (0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\\ (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1) & (1\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (1\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\\ \end{matrix} \right] \tag{3}$

即：

$M_{R \circ S}= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{4}$

$R \circ S = \{<2,3>,<3,4>,<4,1>,<5,3>\}$

④计算并写出$S \circ R$的关系矩阵$M_{S \circ R}$

$M_{S \circ R}= \left[ \begin{matrix} (0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\\ (0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 1) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 1)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\\ (1\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1) & (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0) & (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\\ (0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\\ (0\land 0)\lor(1\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1) & (0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 1)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0) & (0\land 0)\lor(1\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\lor(0\land 0)\\ \end{matrix} \right] \tag{5}$

即 ：

$M_{S \circ R}= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{6}$

$S \circ R = \{<1,2>,<2,3>,<5,1>\}$

5.2.4 关系的闭包

在原关系R中添加新的二元组形成的新的关系$R'$；仅添加必要的二元组，使得新关系具有我们想要的性质。得到的新关系称为原关系的闭包。

定义5.8 设R是非空集合A上的二元关系，若$R'$满足下列条件：

(1) $R'$是自反的（或者对称的或者传递的）

(2) $R \subseteq R'$

(3) 对于A上的任何包含R的自反的（或者对称的或者传递的）关系$R''$，有$R' \subseteq R''$；称$R'$为$R$的自反（或者对称或者传递）闭包，记作$r(R)$（或者$s(R)$或者$t(R)$）。

定理5.5 设R为非空有穷集合A上的二元关系，则：

①$r(R) = R \cup I_A$

②$s(R) = R \cup R^{-1}$

③$t(R) = R \cup R^2 \cup R^3 \cup ... \cup R^n$ (n是集合A中的元素个数)

例5.16 设$A=\{a,b,c,d\}，R=\{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\}$，求r(R)，s(R)和t(R)

解：

$r(R) = R \cup I_A = \{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\} \cup \{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>\}$

$= \{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,c>,<c,d>,<d,d>\}$

$s(R) = R \cup R^{-1} = \{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\} \cup \{<b,a>,<a,b>,<c,b>,<d,c>\}$

$= \{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,d>,<d,c>\}$

$t(R) = R \cup R^2 \cup ... \cup R^n$;

$R=\{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\}$;

$R^2 = R \circ R = \{<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>\}$；

$R^3 = R^2 \circ R = \{<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>\}$；

$R^4 = R^3 \circ R = \{<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>\}$ # 与R^2相同

$\therefore t(R) = R \cup R^2 \cup R^3 = \{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>\}$

例5.17 画出例5.16中R、r(R)、s(R)、t(R)的关系图。

解：

例5.18 写出例5.16中R、r(R)、s(R)、t(R)的关系矩阵。

解：

①关系R的关系矩阵

$M_{R}= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{1}$

②r(R)的关系矩阵

$M_{r(R)}= M_R \cup M_{I_R}= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \cup \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]$

对应位置做析取运算即可。

③s(R)的关系矩阵

$M_{s(R)}= M_R \cup M_{R^{-1}}= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \cup \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{matrix} \right]$

对应位置做析取运算即可。

④t(R)的关系矩阵

$M_{t(R)}= M_R \cup M^2 \cup ... \cup M^n= \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right]$