离散傅里叶变换（DFT）
—— 有限长序列的离散频域表示
一、预备知识
1. 余数运算表达式
设有限长序列 x(n) 的长度为N，（0~N-1期间非0），将其以N为周期作周期延拓，所得的周期信号记为
四. 从DFS到DFT：
从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。
因此可得到新的定义，即有限长序列的离散傅氏变换(DFT)的定义：
x(n) 与 X(k) 是有限长序列的离散傅里叶变换对。
DFT与序列的DTFT和z变换的关系：
x(n)的N点DFT是:
x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；
x(n)的DTFT在区间[0, 2Π]上的N点等间隔抽样。
DFT的性质
1.线性
1）两序列都是N点时
2）长度N1,N2不等时
注：当两个序列作不同N点DFT时，对应的频域值
是z平面上不同点上的值，不能在频域相加。
2.序列的圆周移位
1）定义：一个有限长序列 x(n)的圆周移位定义为
这里包括三层意思：
2）圆周移位的含义
∵ 取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，
∴ 当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。
如果把 x(n)排列一个 N等分的圆周 上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周移位。
3）圆周移位的性质
说明：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。
4）调制特性
说明：时域序列的调制等效于频域的圆周移位
推广：
3.共轭对称性
1）周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量
周期为N的周期序列的共轭对称分量：
2）有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量
圆周共轭对称序列满足：
圆周共轭反对称序列满足：
长度为N的有限长序列可分解圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称 分量，二者的长度也为N：
这是因为
3） 共轭对称特性之一
4）共轭对称特性之二
5）共轭对称特性之三
频域圆周共轭对称
（幅度圆周偶对称， 相角圆周奇对称）
6）共轭对称特性之四
7）共轭对称特性之五、六
9）实、虚序列的对称特性
•当x(n)为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k)
•当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k)
4.DFT形式下的parseval定理
说明：时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的。
5.圆周卷积定理
1）圆周卷积和的定义
两个长度为 N 的序列 的如下计算称为圆周卷积和，用符号 
表示：（N表示圆周卷积的点数）
性质：
说明：相对于圆周卷积，前面介绍的卷积称为线性卷积。
2）时域圆周卷积定理
3）频域圆周卷积定理
4）圆周卷积计算步骤
圆周翻褶、圆周移位、相乘、相加
注：两个序列应有相同的长度N，才能进行N点圆周卷积；
如果长度不等，应将短序列补0，以使长度相等。
6.线性相关与圆周相关
1）线性相关
相关：两个信号之间的关联性。
线性相关定义为
注意与线性卷积的差异：
线性卷积：
卷积有翻褶，相关没有翻褶；相关有取共轭。
2)圆周相关
定义为：
性质：
2）圆周卷积等于线性卷积的条件：
所以， 圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列。
圆周相关是线性相关的周期延拓序列的主值序列
3） 线性卷积与圆周卷积关系的应用：
LSI系统的输出
卷积计算的运算量大，可利用卷积定理在频域相乘并作逆变换来求：
