最大子段和
问题： 给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为： Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n
例如，给出数列 (-2,11,-4,13,-5,-2)，最大子段和为 20 = 11+（-4）+13。
最大子段和是动态规划中的一种。
在累加过程中，不断检查sum
核心代码：
int sum=0;
int max=-1000000;
int l,r,temp=1;// l r 可以记录区间
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sum+=a[i];
if(sum>max)
{
max=sum;
l=temp;
r=i;
}
if(sum<0)
{
sum=0;
temp=i+1;
}
}
另一种代码：
int dp[n+1];//可以记下 i 前的最大子段和
dp[1]=a[1];
int max=a[1];
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(dp[i-1] <= 0) //前一个的最大子段和小于0时，重新开始左区间
dp[i] = a[i];
else
dp[i] = a[i] + dp[i - 1];
if(b[i] > max)
max = b[i];
}
例题：
题意：给定一个数列，找出最大字段和，并记录下区间。即找出某一段连续区间，使其和最大
代码：
#include<stdio.h>
int main()
{
int T,n;
int a[100010];
scanf("%d",&T);
for(int k=1;k<=T;k++)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
int sum=0;
int max=-100010;
int l,r,temp=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sum+=a[i];
if(sum>max)
{
max=sum;
l=temp;
r=i;
}
if(sum<0)
{
sum=0;
temp=i+1;
}
}
printf("Case %d:\n%d %d %d\n",k,max,l,r);
if(k!=T)
printf("\n");
}
return 0;
}
N个整数组成的循环序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的连续的子段和的最大值（循环序列是指n个数围成一个圈，因此需要考虑a[n-1],a[n],a[1],a[2]这样的序列）。当所给的整数均为负数时和为0。
例如：-2,11,-4,13,-5,-2，和最大的子段为：11,-4,13。和为20。
Input
第1行：整数序列的长度N（2 <= N <= 50000)第2 - N+1行：N个整数 (-10^9 <= S[i] <= 10^9)
Output
输出循环数组的最大子段和。
Input示例
6-2 11 -4 13 -5 -2
Output示例
20
【解析】；只有两种情况：
1、这一个子段在头和尾之间
2、这一个子段在头一半，尾上一半。
对两种情况分别处理，比较大小。对于情况1，普通最大子段和处理即可。对于情况2，求最小子段和，再用总和减掉即可
#include<cstdio>
typedef long long ll;
int main()
{
int n;
ll a[101010];
ll minsum=0;
ll sum=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
sum+=a[i];
}
int l,r,temp;
ll tmin=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
tmin+=a[i];
if(minsum>tmin)
{
minsum=tmin;
l=temp;
r=i;
}
if(tmin>0)
{
tmin=0;
temp=i+1;
}
}
ll tmax=0;
ll maxsum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
tmax+=a[i];
if(maxsum<tmax)
{
maxsum=tmax;
}
if(tmax<0)
tmax=0;
}
if(sum-minsum>maxsum)
printf("%lld\n",sum-minsum);
else
printf("%lld\n",maxsum);
return 0;
}
例题： HDU1087
题意：求一段子升序列，使其和最大，可以不连续。
代码：
#include<stdio.h>
int max(int a,int b) { return a>b?a:b; }
int main()
{
int n,a[1010],dp[1010];
while(scanf("%d",&n),n>0)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",a+i);
dp[i]=0;//dp初始化
}
dp[0]=a[0];//作为动态规划的初始理由
int maxx=a[0];
for(int i=0;i<n;i++) //dp
{
dp[i]=a[i]; /*这一步很重要，因为有可能此时的a[i]<a[i-1]，
不满足升序，这里可以保证dp[i]就是a[i] */
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(a[j]<a[i])
dp[i]=max(dp[j]+a[i], dp[i]);
maxx=max(maxx,dp[i]);
}
}
printf("%d\n",maxx);
}
return 0;
}
