最大子段和-动态规划

输入格式：

包含N个整数num[i]，描述了这段序列。

输出格式：

一个整数，为最大的子段和是多少。

思考：

若一个序列当中所有的数均为正数，那么最大字段和一定是这个序列当中所有的数的和。

但是如果这个数列当中存在着负数，那么情况就大不一样。如果要解决负数那么就需要用到动态规划，也就是常说的DP。

动态规划必然要素：状态，转移方程，初值，最终结果。

  • 状态：dp_temp[i]表示在num序列当中的 i 个数当中，必须是以num[i]这个数结尾的子段和。
  • 转移方程：dp_temp[i] = num[i] + max(0,dp_temp[i-1]) 这里是两种情况的判断：
  • 若前dp_temp[i-1]小于等于0，换句话说就是以num[i-1]为结尾的字段和小于0，那么我们将这个字段和抛弃，直接取值为零，之后加上下一个数num[i]；
  • 若前dp_temp[i-1]大于0，那么我们可以再加上一个数，尝试着让他更大一些；
  • 初始值：dp_temp[0]=0;
  • 最终结果筛选：max(dp_temp[i])

样例代码：

dp_temp[0]=0;
int maxArraySum()
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp_temp[i]=num[i]+max(0,dp_temp[i-1]);
        ans=max(ans,dp_temp[i]);
    }
    return ans;
}


注：可能转移方程有些地方还是想不明白，下面我用例子来详细解释一下。

  1. 若一个n为7的数列，那么他的子序列一共有7！个而这么多个子序列我们并不需要全部遍历计算，只有当子序列和大于0的时候我们才会对他进行进一步操作，也就是加上下一个值，尝试将他变得更大。当然加上下一个值之前我们需要将当前的这个子序列的和 与之前已经算出来的序列和相比取较大的值。
  2. 当我们以num[i]为结尾构成状态序列时
  1. 若i=7，则dp_temp[7]就是num[7]结尾的序列和，换句话说7之前的所有子序列我们都已经遍历过了。为什么这么说呢，长度为7的子序列，其实是从长度为6的子序列加上第7个数组合而成。而我们不考虑前六个数每个数到底怎样，我们只关心它的和是否大于0，若大于0那么恭喜它，可以得到第7个数。否则以num[6]为结尾的子序列（也有可能不是以num[6]结尾，exp:1，-1，1，0，1，-1.其实是以num[3]结尾，等价于0,0,1.因为num[1],num[2]被抛弃，num[4:6]相当于被无视）只能被我们无情抛弃，用0来代替。
  2. 同理，若i=3，则在num[3]之前的所有子序列也就是num[1]，num[2]，num[1:2]被遍历过。num[1]是当i=1时遍历；num[2]是当num[1]<=0时被遍历；num[1:2]是当num[1]>0时被遍历。

tips：不用纠结于遍历所有子序列，因为有些子序列注定小于其他序列而被我们在判断的时候直接跳过。例如：1，2，3，4，5这个序列当中，1，2 ，3 这个序列注定大于 2, 3;也大于3，也大于2，这三个序列，只是因为前面的和大于0即可判定。