上海交大ACM班C++算法与数据结构——C++算法初级1
1.算法
- 目标：用一个算法解决一类问题
- 不仅要符合数学规律，还要有实际意义
- 算法描述方法：
- 自然语言：方便面对面交流
- 流程图：直观
- 伪代码：可以清晰了解程序流程，并便于计算出复杂度，忽略一些代码实现的细节
- 程序语言：与计算机沟通算法
- 特性：
- 有穷性：算法的指令或者步骤的执行次数和时间都是有限的；
- 确切性：算法的指令或步骤都有明确的定义，无二义性；
- 可行性：算法的执行步骤必须是可行的。
- 输入、输出
2.数据结构
- 研究数据的存储方式（考虑数据的逻辑结构和物理结构），及在特定存储方式下的处理方法
- 常见操作：创建与清除、插入与删除、检索与访问与更新、遍历、排序
3.模拟算法
- 用脚本(如:bash脚本)调用不同代码完成一系列工作来模拟人手动运行不同代码
- 不是一种算法，是一种以编程基本功为主的实现方法，将一系列操作串联起来，固定实现一个一直流程(对一种已知的固定流程的模拟)
- 要求我们对数组、字符串等操作非常熟悉，才能找到更优美的实现方法
4.高精度运算
- 所有相关大整数的操作本质就是模拟，模拟人工处理大整数的过程
- 单精度：能用一个内置类型存储的整数，unsigned long long数据类型能存储的最大数为2的64次幂-1
双精度：不能用内置类型存储的大整数，通常用数组存储每一个数位 - 为了方便模拟竖式计算，采用小端序（与书写顺序相反，低位在前，存储在地址的低位）存储双精度大整数 ，如2021的小端序存储：
- 加减法都是从地位开始运算，小端序地位处于地址的地位，循环枚举的时候符合正向枚举的习惯，而且位数的变化更加方便，容易实现数组伸缩。
- 乘法：一个n位的整数和一个m位的整数相乘，结果最多为n + m位的整数，最少为1位
- 练习题目1：
- 高精度减法：
输入两个大整数ab，计算a - b的结果，其中数据保证0 < b < a < 10^500。
输入描述：一行，两个大整数ab，中间用空格隔开。
输出描述：一行一个整数，表示a-b的结果。
示例 1：
输入：10000 9990
输出：10
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000010], b[1000010], c[1000010], lena, lenb, lenc, i;
char n[100010], n1[100010], n2[100010];
int main(){
scanf("%s", n1);
scanf("%s", n2);
if (strlen(n1) < strlen(n2) || (strlen(n1) == strlen(n2) && strcmp(n1, n2) < 0)) {
strcpy(n, n1);
strcpy(n1, n2);
strcpy(n2, n);
cout << "-";
}
lena = strlen(n1); lenb = strlen(n2);
for(i = 0; i <= lena - 1; i++) a[lena - i] = int(n1[i] - '0');
for(i = 0; i <= lenb - 1; i++) b[lenb - i] = int(n2[i] - '0');
i = 1;
while (i <= lena || i <= lenb) {
if (a[i] < b[i]) {
a[i] += 10;
a[i+1]--;
}
c[i] = a[i] - b[i];
i++;
}
lenc = i;
while ((c[lenc] == 0) && (lenc > 1)) lenc--;
for (i = lenc; i >= 1; i--) cout << c[i];
cout << endl;
return 0;
}- 练习题目2：
- 高精度乘法：
求两数的积。说明/提示：每个数字不超过 10^2000 ，需用高精度。
输入描述：两行，两个整数。
输出描述：一行一个整数表示乘积。
示例 1：
输入：
123456789
987654321
输出：
121932631112635269
#include <bits/stdc++.h>
#define N 11111
using namespace std;
int a_digits[N], b_digits[N];
int a_len, b_len;
int ans_digits[N], ans_len;
char str1[N], str2[N];
int main() {
cin >> str1;
// 获取高精度整数长度
int a_len = strlen(str1);
for (int i = 0; i < a_len; ++i)
// TODO 请补全下述代码
a_digits[i]=str1[a_len-1-i]-'0' ; // 将字符转换成数字，倒着存进数位数组
cin >> str2;
// 获取高精度整数长度
int b_len = strlen(str2);
for (int i = 0; i < b_len; ++i)
// TODO 请补全下述代码
b_digits[i]=str2[b_len-1-i]-'0'; // 将字符转换成数字，倒着存进数位数组
// 1. 数位操作
ans_len = a_len + b_len; // 初始化长度
for (int i = 0; i < ans_len; ++i)
ans_digits[i] = 0;
// 因为是不断累加的形式，所以要将范围内的元素初始化为0。
for (int i = 0; i < a_len; ++i)
for (int j = 0; j < b_len; ++j){
// TODO 请补全下述代码
//cout<<a_digits[i]*b_digits[j];
ans_digits[i+j]=a_digits[i]*b_digits[j]+ans_digits[i+j] ;}
//cout<<ans_digits[i+j]<<' ';} // 乘法计算
// ans的每一位更新都要使用累加的形式，这是因为对于ans的第k位，满足i + j == k的(i, j)很多，所以可能答案的第k位可能先后被更新很多次。
// 2. 统一进位
int k = 0;
for (int i = 0; i < ans_len; ++i) {
// TODO 请补全下述代码
ans_digits[i]+=k;
k=ans_digits[i]/10;
ans_digits[i]%=10;
//cout<<ans_digits[i];//
}
// 3. 维护长度
while (ans_len > 1 && ans_digits[ans_len - 1] == 0)
--ans_len;
// 4. 输出
for (int i = ans_len - 1; i >= 0; --i)
cout << ans_digits[i];
cout << endl;
return 0;
}- 练习题目3：
- 高精度加法：
高精度加法，相当于a+b problem，不用考虑负数.
输入描述：分两行输入。a, b ≤ 10^10000
输出描述：输出只有一行，代表a+b的值
示例 1：
输入：
1001 9099
输出：
10100
#include <bits/stdc++.h>
#define N 11111
using namespace std;
int a_digits[N], b_digits[N];
int a_len, b_len;
int ans_digits[N], ans_len;
char str1[N], str2[N];
int main() {
cin >> str1;
// 获取高精度整数长度
int a_len = strlen(str1);
for (int i = 0; i < a_len; ++i)
// TODO 请补全下述代码
a_digits[i]=str1[a_len-1-i]-'0' ; // 将字符转换成数字，倒着存进数位数组
cin >> str2;
// 获取高精度整数长度
int b_len = strlen(str2);
for (int i = 0; i < b_len; ++i)
// TODO 请补全下述代码
b_digits[i]=str2[b_len-1-i]-'0' ; // 将字符转换成数字，倒着存进数位数组
ans_len = max(a_len, b_len); // 初始长度
int k = 0; // 记录进位的变量
for (int i = 0; i < ans_len; ++i) {
// 假设a_len > b_len，这里需要保证b[b_len]到b[a_len - 1]的位置都是0，否则可能会出错。
// TODO 请补全下述代码
ans_digits[i]=a_digits[i]+b_digits[i]+k ; // 相加计算
k=ans_digits[i]/10; // 更新进位
ans_digits[i] %= 10;
}
if (k)
// TODO 请补全下述代码
ans_digits[ans_len]=1 ;
ans_len++; // 最高位进位
// 3. 输出
// 按照打印顺序输出，从高位到低位。
for (int i = ans_len - 1; i >= 0; --i)
cout << ans_digits[i];
cout << endl;
return 0;
}5.算法复杂度
- 时间复杂度
- 主频：CPU每秒钟产生脉冲信号的次数（也就是每秒钟的时钟周期个数）
以2.1GHz为例，一秒钟该CPU可以产生2.1*10^9次脉冲信号，如果一台计算机每个时钟周期可以完成1条指令，那么该计算机1s之内就可以运行2.1 *10^9条指令。 - 时钟周期：计算机计量时间的最小单位
例：在一台主频为2.1GHz的电脑上，如果一台计算机每个时钟周期可以完成1条指令，如果一个算法需要10{20}条指令，那么它的运行时间将是10{20}(2*109)\3600\24÷(2∗109)÷3600÷24，答案约等于 580000
- 空间复杂度
一个5000 * 5000的二维数组int a所耗内存为5000×5000×4÷1024÷1024≈95 MB。（一个int占4个字节，1M=1024K,1K=1024bite）
还要考虑具体实现难度和一些针对实际问题的评价指标 - 提高算法时间复杂度的指导思想：充分利用每一次计算结果（对计算机的劳动成果报以最大尊重），但同时会因为对中间计算结构的存储（以方便再次利用），会加大空间复杂度。
- 空间复杂度和时间复杂度通常会此消彼长，牺牲一个来成全另一个
6.暴力枚举
- 利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检验，从中找出符合要求的答案的方法
- 子集枚举：
- 比特串法：集合{1,2,3,4,5,6},000101表示子集{4,6}（0表示对应元素不包含在子集中，1则表示包含在子集中）
假设我们有个集合{1,2,3,…,n}，输出所有满足集合中所有数求和是3的倍数的子集的个数。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int main() {
scanf("%d", &n); // 集合大小，也就是01比特串的长度
int tot = 1 << n; // 枚举数字代替01比特串，范围为0到2^n - 1,用十进制数代表二进制数，tot最小的n+1位二进制数对应的十进制数,n=3,tot=8
int ans = -1; // 消除空集
for (int num = 0; num < tot; ++num) { // 枚举每个代表01比特串的数字
//第一层循环循环2^n次
long long sum = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) // 枚举01比特串的每一位
//第二层循环循环n次
if ((num >> i) & 1) { // 检查第j位是否为1，注意这里是从0开始枚举
sum += (i + 1); // 如果该位是1，就把对应的数字加到求和的变量里
}
if (sum % 3 == 0) ++ans; // 如果满足题目要求（3的倍数），计入答案
}
printf("%d\n", ans);
}- 数组表示法递归枚举：可以根据实际情况进行剪枝，复杂度优于二进制串法
7.排列枚举：
- 一种用一维数组表达二维信息的方式：把列看成数组的下标，行看成数组里的值的话，如下图所示
对应数组：int a[10] = {0, 5, 7, 1, 4, 2, 8, 6, 3}; // 这里我们从1开始存储，0号无意义。 - STL(Standard Template Library)：标准模板库，分为算法（algorithm）、容器（container）和迭代器（iterator）三个部分，之所以叫做“模板库”，是因为在STL中几乎所有代码都是用模板类或者模板函数的方式实现的。
- next_permutation：3个参数，分别代表头指针（重拍范围包含头指针所指元素），尾指针（重拍范围不包含尾指针所指元素）和比较函数（可选）。
会将数组重拍成更大的数组，并返回Ture或False，False代表传入数组已经是最大的了，但是仍然会把数组改变从最小的，如：
int a[10] = {4, 3, 2, 1};
if (next_permutation(a, a + 4)) {
cout << "Yes" << endl;
} else {
cout << "No" << endl;
}
for (int i = 0; i < 4; ++i) cout << a[i] << ' ';
cout << endl;
输出结果：
No
1 2 3 4可以利用这种办法重拍数组下标实现一维数组元素所有排列的遍历。
调用next_permutation函数一次的复杂度为O(n)。如果对于不同元素的排列，如果连续调用next_permutation函数的话，均摊复杂度为O(1)。- 也可以使用递归树的办法实现，如下图所示：
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