python向量标准正交化 向量组标准正交化例题

本节为线性代数复习笔记的第五部分，向量（2），主要包括：向量组的秩，向量内积、正交、模，施密特标准正交化（正交规范化），向量空间以及坐标变换公式。

1. 向量组的秩

$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}$的极大线性无关组中所含有向量的个数称为向量组的秩，其中等价向量组必然等秩，但向量组等秩不一定是等价向量组，且有矩阵的秩=行向量组秩=列向量组秩。
  若A经过初等行变换变为B，则A的行向量组合B的行向量组等价，且A和B任何列向量组具有相同的线性相关性。
  设有向量组$\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_t}$和$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}$，若$\beta_i$均可由$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}$线性表出，则：$r[\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_t}]$$\leq$$r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}]$。

2. 向量组内积，向量正交，模

$\alpha^T=[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_n}]^T$，$\beta=[\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_n}]^T$，则$\alpha^T\beta$称为向量组的内积，记为$(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta$。
  当$\alpha^T\beta=0$，称两个向量组正交。
  向量组的模记为$||\alpha||=\sqrt{\Sigma_{i=1}^n\alpha_i^2}$，模为1则向量为单位向量。

3. 标准正交向量组

$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_n}$，若$i=j，\alpha_i^T\alpha_j=1$；$i\neq j，\alpha_i^T\alpha_j=0$，则称向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_n}$为标准/单位正交向量组。
  A是正交矩阵（方阵）$\Leftrightarrow$$A^TA=E$$\Leftrightarrow$$A^T=A^{-1}$$\Leftrightarrow$A的行与列向量组皆为标准正交向量组
  若A是正交矩阵，则称$Y=AX$为正交变换，不改变向量内积（成都和两两夹角不变）。
  对于正交矩阵A，若|A|=1，称A为特殊正交矩阵/旋转矩阵；若|A|=-1，称A为瑕旋转矩阵。

正交矩阵和正交变换还有很多有意思的性质~

4. 施密特标准正交化/正交规范化

$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_n}$的标准正交化公式为：
$\beta_1=\alpha_1\\\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\beta_1,\beta_1}\beta_1\\...\\\beta_n=\alpha_n-\frac{(\alpha_n,\beta_{n-1})}{\beta_{n-1},\beta_{n-1}}\beta_{n-1}-...-\frac{(\alpha_n,\beta_1)}{\beta_1,\beta_1}\beta_1$
  得到的$\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_n}$是正交向量组，将$\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_n}$单位化得：$\eta_i=\frac{\beta_i}{||\beta_i||}$，这样即可得到标准正交向量组。
  $\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\beta_1,\beta_1}$这个计算本质上是将$\alpha_2$投影到$\alpha_1$方向上的投影系数，然后做向量的相减，得到方向上与$\alpha_1$正交的新向量。

5. 向量空间

$\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}$是$R^n$中的线性无关向量组，且任一向量$\vec{\alpha}\in R^n$均可由$\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}$线性表出，则称$\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}$是$R^n$的一个基，其个数n称为该向量空间的维数。若有：$\vec{\alpha}=a_1\vec{\xi_1}+a_2\vec{\xi_2}+...+a_n\vec{\xi_n}$，则$(a_1,a_2,...,a_n)$称为向量$\vec{\alpha}$在此向量空间的坐标。
  若$\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}$和$\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}$为向量空间$R^n$的两个基，且：
$[\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}]=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]\left[\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&...&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&...&c_{2n}\\...&...&...&...\\c_{n1}&c_{n2}&...&c_{nn}\end{matrix}\right]\\=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]C$

称矩阵C为从$\eta$到$\xi$的过渡矩阵（必然是可逆矩阵），上述公式称为基变换公式。
  若$\vec{\alpha}=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]\vec{x}=[\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}]\vec{y}$，且$[\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}]=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]C$，则$\vec{\alpha}=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]\vec{x}=[\vec{\eta_1},\vec{\eta_2},...,\vec{\eta_n}]\vec{y}=[\vec{\xi_1},\vec{\xi_2},...,\vec{\xi_n}]C\vec{y}$，即$\vec{x}=C\vec{y}，\vec{y}=C^{-1}\vec{x}$，称为坐标变换公式。这里要注意区分是从哪一个坐标到哪一个坐标。