Python计算泰勒sin 泰勒公式

前言

本文对泰勒公式的由来以及证明做一些简单的总结，方便自己在闲暇时品读。
本人对泰勒公式的记忆只停留在大学时期的期末考试复习阶段，说来也是十分的惭愧。
俗话说，温故而知新，可以为师矣，以下内容均来自于知乎大神承志。

一、泰勒公式的用途

泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能会非常的麻烦。所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。

从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。

二、泰勒公式的定义

我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。但是我们如何去求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。

举个例子：

这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着 $\Delta x$ 的减小，点 $P_0$ 和 $P$ 也会越来越接近，这就带来了 $\Delta y$ 越来越接近 $\Delta x \cdot f'(x_0)$

当然，当 $\Delta x$ 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设 $f(x)$ 在区间内一直有 $(n+1)$ 阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数：
$P_n(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \cdots + a_n (x - x_0)^n \quad \text{$\cdots$①}$
我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是 $(x - x_0)^n$ 的高阶无穷小。也就是说误差比上 $(x - x_0)^n$ 的极限是 $0$

前面已经提到过，我们是通过导数来逼近的，所以我们假设：
$P_n(x_0) = f(x_0), \quad P_n'(x_0) = f'(x_0) \\ P_n''(x_0) = f''(x_0), \; \cdots,\; P_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) \quad \text{$\cdots$②}$
按照这个假设我们可以很方便地得到多项式的系数 $\{a_0, a_1, \cdots, a_n\}$ 了，其实很简单，我们只需将上述式①和式②结合计算便可求得：
$a_0 = f(x_0), \quad 1 \cdot a_1 = f'(x_0) \\ 2! \cdot a_2 = f''(x_0), \; \cdots, \; n! \cdot a_n = f^{(n)}(x_0) \quad \text{$\cdots$③}$
我们再将式③代入到式①中即可得到：
$P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$

三、泰勒公式的证明

其实上面的式子就是泰勒公式的内涵了，也就是说我们通过高阶导数来逼近了原函数。最后我们只需要证明这个式子就是我们想要的，也就是它的误差足够小。

我们同样用一个函数 $R_n(x)$ 来表示 $P_n(x)$ 与原函数 $f(x)$ 的差值。我们直接比较 $P_n(x)$ 和 $f(x)$

我们带入一下可以发现， $R_n(x_0) = 0$ ，不仅如此：
$R_n'(x_0) = R_n''(x_0) = \cdots = R_n^{(n)}(x_0) = 0 \quad \text{$\cdots$④}$
这里我们以 $R_n'(x_0) = 0$ 为例进行证明：
$R_n(x) = P_n(x) - f(x)$
$\Rightarrow R_n'(x) = P_n'(x) - f'(x)$
$\Rightarrow R_n'(x) = [f'(x_0) + 2 \cdot \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0) + \cdots + n \cdot \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^{n-1}] - f'(x)$
$\Rightarrow R_n'(x_0) = f'(x_0) - f'(x_0) = 0$
证毕。

很明显，因为求导后存在大量的携带有 $x - x_0$，当 $x = x_0$

到这里，我们需要进行一个猜测：根据上面的规律，以及我们的目标——证明这个 $R_n(x)$ 函数是一个关于 $(x - x_0)^n$ 的无穷小，所以我们可以进一步猜测 $R_n(x)$ 应该是一个与 $(x - x_0)^{n+1}$

有了这个猜测之后，我们套用一下柯西中值定理：
$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$
我们令 $f(x) = R_n(x), \; F(x) = (x - x_0)^{n+1}$ ，套用中值定理可以得到：
$\frac{R_n(x)}{(x - x_0)^{n+1}} = \frac{R_n(x) - 0}{(x - x_0)^{n+1} - 0} = \frac{R_n(x) - R_n(x_0)}{F(x) - F(x_0)} \\$
$= \frac{R'(\xi_1)}{F'(\xi_1)} = \frac{R_n'(\xi_1)}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n}, \quad (\xi_1 \in (x_0, x))$
有了这个结论之后，我们再对函数 $R_n'(\xi_1)$ 和 $(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n$ 在区间 $(x_0, \xi_1)$ 上再次应用柯西中值定理：
$\frac{R_n'(\xi_1)}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n} = \frac{R_n'(\xi_1) - 0}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n - 0} = \frac{R_n'(\xi_1) - R_n'(x_0)}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n - (n + 1)(x_0 - x_0)^n}$
$= \frac{R_n''(\xi_2)}{n(n + 1)(\xi_2 - x_0)^{n-1}}, \quad (\xi_2 \in (x_0, \xi_1))$
接下来就是熟悉的套娃环节了，经过一共 $n+1$ 次套娃之后，我们可以得到：
$\frac{R_n(x)}{(x - x_0)^{n+1}} = \frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}, \quad (\xi \in (x_0, \xi_n)) \quad \text{$\cdots$⑤}$
我们对 $P_n(x)$ 求 $n+1$ 次导数，可以得到 $0$ ，因为所有项最高次项只有 $n$ 次，求 $n+1$ 次导数之后全部变成 $0$ 。也就是说 $P_n^{(n+1)}(x) = 0$ ，所以 $R_n^{(n+1)}(x) = f^{(n+1)}(x)$ ，我们把这项代入到式⑤中，即可得到：
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}, \quad (\xi \in (x_0, x))$

四、误差的证明

接下来我们要证明这个误差 $R_n(x)$ 是 $(x - x_0)^{n}$

到这里，证明就很简单了，在固定的区间 $(a, b)$ 中，很明显函数 $f^{(n+1)}(x)$ 存在最大值，我们假设这个最大值是 $M$ 。也就是说 $f^{(n+1)}(x) \leq M, \; x \in (a, b)$

那么：
$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n} \leq \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{\frac{M}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}}{(x-x_0)^n} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{M(x - x_0)}{(n+1)!}$
由于 $x$ 逼近 $x_0$ ， $M$ 是一个常数，所以这个极限趋向于 $0$ ，我们可以用极限的定义很容易证明。于是我们证明了，误差 $R_n(x)$ 是比 $(x - x_0)^{n + 1}$

所以我们可以得到：
$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$
由于我们一共用到了 $n$ 阶导数来表达原函数，所以我们称为这是原函数 $f(x)$ 的 $n$。最后的：
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}, \quad (\xi \in (x_0, x))$
我们称它为拉格朗日余项。我们也可以简写为 $o[(x - x_0)^n]$ ，它称为佩亚诺型余项，其实和拉格朗日余项是一回事，只是写的形式不同。

我们如果令 $x_0 = 0$ 的话，还可以将式子进一步化简。由于 $\xi \in (0, 1)$ ，所以我们可以令 $\xi = \theta x, \; (0 \lt \theta \lt 1)$ ，原公式可以写成：
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}, \quad (0 \lt \theta \lt 1)$
和上面的式子相比，这个式子要简单许多，它也有一个名字，叫做麦克劳林公式。在麦克劳林公式下的佩亚诺余项写成 $o(x^n)$

如果觉得上面的式子有点多记不过来可以忽略原式，只需要记住麦克劳林公式即可。对于拉格朗日余项，我们也只会在计算误差的时候用到，在不需要考虑误差的场景下也可以忽略。

五、实例

下面我们来看一个实际的例子，来感受一下泰勒公式的强大。

我们都知道有一些函数的值我们很难直接计算，比如 $f(x) = e^x$ ，和正弦余弦函数等。由于 $e$ 本身就是一个无理数，有没有想过我们怎么来求一个带 $e$

我们就用 $f(x) = e^x$ 举例，看看怎么利用泰勒公式来计算 $e^x$

为了简化计算，我们显然考虑麦克劳林公式。由于 $x = 0$ 时， $e^x=1$ ，并且 $f'(x) = e^x$

所以我们可以得到：
$f'(0) = f''(0) = f'''(0) = \cdots = f^{(n)}(0) = 1$
代入泰勒公式，可以得到：
$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \cdots + \frac{1}{n!} x^n + \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!} x^{n+1}$
我们如果把最后一项当成误差，那么可以得到：
$e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \cdots + \frac{1}{n!} x^n$
当 $n = 10, \; x = 1$ 时，产生的误差为：
$\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!} x^{n+1} \leq \frac{e}{11!} \lt \frac{3}{11!}$
我们稍微算一下就可以知道，这个误差小于 $10^{-6}$ ，已经足够接近了。也就是说我们把原本不太好计算的函数转化成了若干个多项式的和，可以非常简单地获得一个足够接近的近似值。并且除此之外，我们还能算出它的最大误差，实在是太完美了。

六、一些思考

到这里还没有结束，看完所有的推导和计算之后，不知道你们有没有一个疑惑，这么一个牛叉并且复杂并且有用的公式，泰勒是如何能够想到的呢？好像用一时的灵感很难解释。毕竟人的灵感往往都是一瞬间对某个点的顿悟，而这么多公式和结论是很难顿悟的。

之前上学的时候我完全没有意识到这个问题，这次重温的时候才觉得不对。当然你可能会说这里有这么多数学家的名字，这显然不是一个人的功劳。但即使是这样，我仍然好奇，这么伟大的公式是在多么的因缘巧合之下被人类给发明出来的？

我们设想一个问题，如果 $f(x)=g(x)$ ，那么显然 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的各阶导数全都相等。那么问题来了，如果我们人为地构造一个函数 $h(x)$ ，使得它的各阶导数和 $g(x)$ 吻合，那么是不是可以认为这个我们人为构造出来的函数也和 $g(x)$

然而有些函数的高阶导数是无穷无尽的，我们不可能人工全部拟合，所以只能退而求其次，拟合其中的 $n$ 项。显然这样做会存在误差，那么我们需要知道这个误差的大小。于是就有了后面的拉格朗日余项大小的推算。

泰勒公式的出现和推导过程正是基于这样的思路应运而生的，想到这里，如果我们把各阶导数的项看成是特征数据，那么这个问题就转化成了机器学习当中的回归问题，只不过在机器学习当中我们是设定了优化目标和优化方法，让模型自行训练来拟合逼近，而泰勒公式其实是通过思维和数学的力量推算出了结果，两者的目的和结果是一样的，但是过程完全迥异，两个看似完全风马牛不相及的问题殊途同归，不得不说数学的魅力真的很是令人折服。