[JZOJ6080]【GDOI2019模拟2019.3.23】IOer【生成函数】【数学】

Description

有m天时间，每天可以完成任意数量的事件，第i天可以完成的事件有(ui+v)种（可以同一种完成多次）

问m天总共完成n个事件的方案数。
注意每天完成的时间是有顺序的，也就是说同一天内1,2和2,1是两种不同的方案。

T组数据。
$n\leq 10^{18},m\leq 200000,u,v\leq 10^9,T\leq 5$，答案对998244353取模

Solution

容易列出每一天的一般生成函数为$1\over 1-(ui+v)x$

那么答案就是$\prod\limits_{i=1}^{m}{1\over 1-(ui+v)x}$中$x^n$这一项的系数

暴力乘或者分治NTT再求逆显然不能通过。

然后我们发现分母是一个常数项为1的多项式
这不禁让我们联想起常系数齐次线性递推
但是m=200000，还有5组数据，实测极限跑一分钟都跑不出来…

然而此时我们发现并没有利用(ui+v)这个性质
这里就有一些技巧了
题解给出了一个组合意义的推导方法，这里我们介绍另外一种。

我们先给出一个结论
最终的多项式$S(x)={1\over (ux)^{m-1}}\sum\limits_{i=1}^{m}{a_{m,i}\over 1-(ui+v)x}$
其中$a_{m,i}$是与m,i有关的常数

这是怎么得来的呢？
我们考虑这样一个小学奥数的式子
${1\over a}\times{1\over b}={1\over b-a}\times({1\over a}-{1\over b})$

也就是说我们能将乘化成加减
现在的问题是求出系数$a$，以及搞清楚前面的$1\over x^{m-1}$是怎么来的

我们假定已经求出了$S_i(x)=\prod\limits_{j=1}^{m}{1\over 1-(uj+v)x}={1\over x^{i-1}}\sum\limits_{j=1}^{i}{a_{i,j}\over 1-(uj+v)x}$

我们要在末尾乘上$1\over {1-(u(i+1)+v)x}$
考虑它与第j项相乘

$\tag 1{a_{i,j}\over 1-(uj+v)x}\times {1\over {1-(u(i+1)+v)x}}$
$\tag 2={a_{i,j}\over ux(j-(i+1))}\times \left({1\over 1-(uj+v)x}-{1\over {1-(u(i+1)+v)x}}\right)$

我们发现，分母中的x同时将会出现在后面括号的两项中，因此每加入一个新的i+1，总的式子就会除以x，这就是$1\over {x^{m-1}}$的来由，u也是一样的，因此我们可以提出一个$1\over u^{m-1}$

观察a的变化，我们发现每加入一个(i+1)它就会类似的这样变动
也就是说$\tag 3a_{i+1,j}={a_{i,j}\over (j-(i+1))}$

那么$a_{m,j}={a_{j,j}(-1)^{m-j}\over (m-j)!}$

现在的问题是计算$a_{i,i}$，记为$f_i$
1~i-1的每一项都会对fi有贡献
容易看出$\tag 4f_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}{a_{i-1,j}\over u(i-j)}=\sum\limits_{j=1}^{i-1}{f_j(-1)^{i-1-j}\over (i-j)!}=-\sum\limits_{j=1}^{i-1}{f_j(-1)^{i-j}\over (i-j)!}$

设$F(x)$为$f_i$的生成函数，我们可以得到$F(x)=F(x)e^{-x}+x$（因为第一项不能被转移来）

解得$F(x)=xe^x$，即$f_i={1\over (i-1)!}$

现在有了$f$，就能相应的计算出$a_{m,j}$，就能求得每一个和式的系数，进而直接利用生成函数$1\over 1-ax$的第$i$项为$a^ix$的性质就能算出答案。

注意由于前面乘了一个$1\over x^{m-1}$，因此计算的是$x^{n+m}$这一项。

时间复杂度$O(m\log n)$，$\log n$是快速幂

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 200005
#define LL long long
#define mo 998244353
using namespace std;
int t;
LL n,m,r1,r2,ny[N],js[N];

//prepare
LL ksm(LL k,LL n)
{
  k=(k+mo)%mo;
  LL s=1;
  for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;
  return s;
}

int main()
{
  int t;
  cin>>t;
  js[0]=1;
  fo(i,1,N-5) js[i]=js[i-1]*(LL)i%mo;
  ny[N-5]=ksm(js[N-5],mo-2);
  fod(i,N-6,0) ny[i]=ny[i+1]*(LL)(i+1)%mo;
  while(t--)
  {
    cin>>n>>m>>r1>>r2;
    LL ans=0,v=(m&1)?1:-1,u=ksm(ksm(r1,m-1),mo-2);
    fo(i,1,m) 
    {
      ans=(ans+ny[i-1]*v*ny[m-i]%mo*ksm(r1*(LL)i%mo+r2,n+m-1)%mo*u%mo)%mo,v=-v;
    }
    printf("%lld\n",(ans+mo)%mo);
  }
}