[JZOJ6073]【GDOI2019模拟2019.3.20】河【DP】【几何】

Description

Solution

我们考虑一条x=INF的垂直于x轴的直线$l$。

对于一条河，考虑与这条直线的交点，显然只与斜率大小有关，斜率相同时才与截距有关。
可以发现，对于任意一条河，它能够污染的范围都是一个区间

我们将所有的河流按照斜率为第一关键字，截距为第二关键字排序，这就是它们与直线$l$的交点的顺序。

容易发现，一条河流能影响的区间下端就是截距比它大的且斜率最小的那个，区间上端就是截距比它小的且斜率最大的那个。

这样将交点坐标离散以后，我们就变成了一个经典问题，一个序列，若干个区间，问有多少种选法覆盖整个序列，并且不存在严格完全包含的区间。

我们可以将区间按照右端点为第一关键字，左端点为第二关键字排序（即右端点相同的我们必须先考虑更长的）
考虑DP，设$f[i]$表示当前转移到了第i个区间，1到r[i]都被覆盖了的并且第i个区间被选了的方案数

那么转移来的f[j]也是一段区间，直接前缀和转移即可。
其实完全可以用f[i]表示转移到了位置i
我这样写反而还复杂了很多。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 500005
#define LL long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
LL f[N],ans,sum[N];
int a[N][2],d[N],n,st[N],top,ap[N][2],bz[N],dc[N],d2[N],dw[N];
bool cmp(int x,int y)
{
  return (a[x][0]<a[y][0])||(a[x][0]==a[y][0]&&a[x][1]<a[y][1]);
}
bool cmp2(int x,int y)
{
  return a[x][1]<a[y][1];
}
bool cmp3(int x,int y)
{
  return (ap[x][1]<ap[y][1]||ap[x][1]==ap[y][1]&&ap[x][0]<ap[y][0]);
}
int main()
{
  cin>>n;
  fo(i,1,n) scanf("%d%d",&a[i][1],&a[i][0]),d[i]=i;
  sort(d+1,d+n+1,cmp);
  int m=0;
  fo(i,1,n) a[d[i]][0]=i;
  sort(d+1,d+n+1,cmp2);
  int mx=0;
  fo(i,1,n)
  {
    mx=max(mx,a[d[i]][0]);
    ap[d[i]][1]=mx;
    d2[i]=i;
  }
  int mi=n+1;
  fod(i,n,1)
  {
    mi=min(mi,a[d[i]][0]);
    ap[d[i]][0]=mi;
  }
  f[0]=1;
  sum[0]=1;
  sort(d2+1,d2+n+1,cmp3);
  LL ans=0;
  dw[0]=0;
  fo(i,1,n)
  {
    int u=d2[i];
    dw[i]=ap[u][1];
    int p=lower_bound(dw,dw+i+1,ap[u][0]-1)-dw;
    f[i]=sum[i-1];
    if(p>0) f[i]=(f[i]-sum[p-1]+mo)%mo;
    sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%mo;
    if(ap[u][1]==n) ans=(ans+f[i])%mo;
  }
  printf("%lld\n",ans);
}