矩阵连乘问题（动态规划）

原创

scx_white 2022-08-05 10:30:29 博主文章分类：【动态规划】 ©著作权

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给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
struct SIGN{
    int num;//加括号的个数 
}l[100+5],r[100+5]; //l为左括号,r为右括号 
//矩阵的个数 
int n;
//矩阵的维数 第i个矩形 的维数为 p[i*2]和p[i*2+1]
int p[200+5];
//m[i][j]表示当前i到j最少的计算次数 
int m[100+5][100+5];
//s[i][j]表示当前i到j最少计算次数需要断开的位置s[i][j] 
int s[100+5][100+5];
//x[i]表示第i个矩阵要加括号的个数 
void MatrixChain()
{
    memset(m,0,sizeof(m));
    //当前矩阵的长度 
    for(int r=2;r<=n;r++)
    {
        //矩阵的起始位置 
        for(int i=1;i<=n-r+1;i++)
        {
            //矩阵的结束位置（矩阵开始+矩阵长度-1） 
            int j=i+r-1;
            if(i>n||j>n) continue;
            //m[i][j]初值 
            m[i][j]=m[i+1][j]+p[2*i]*p[2*i+1]*p[2*j+1];
            //记录当前s[i][j]的最优断开位置 
            s[i][j]=i;
            //循环找i,j之间的最优断点k 
            for(int k=i+1;k<j;k++)
            {
                int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i*2]*p[k*2+1]*p[j*2+1];
                if(t<m[i][j])
                {
                    //更新i 到 j的最优解 
                    m[i][j]=t;
                    //更新当前s[i][j]的最优断开位置 
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        //  cout<<i<<"  "<<j<<" "<<m[i][j]<<endl;
        }
    }
}
//加括号 
void Traceback(int i,int j)
{
    if(i==j) return ;
    Traceback(i,s[i][j]);
    Traceback(s[i][j]+1,j);
    cout<<"Multiply A("<<i<<","<<s[i][j];
    cout<<")and A("<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<")"<<endl;
    l[i].num++;
    r[j].num++;
}
//输出括号 
void dealSign()
{
    cout<<"计算次序："; 
    //加括号
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int leftCount=l[i].num;
        int rightCount=r[i].num;
        //先输出左括号 再输出当前矩阵  最后输出右括号 
        for(int j=0;j<leftCount;j++)
        {
            cout<<"(";
        }
        cout<<i;
        for(int j=0;j<rightCount;j++)
        {
            cout<<")";
        }
    } 
    
}
int main()
{
    cout<<"请输入矩阵的个数：";
    cin>>n;
    cout<<"请输入各矩阵的维数，空格分开"<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>p[i*2];
        cin>>p[i*2+1];
    }
    MatrixChain();
    //输出1到n的最优结果 
    cout<<"最小计算次数为："<<m[1][n]<<endl;
    memset(l,0,sizeof(l));
    memset(r,0,sizeof(r));
    Traceback(1,n);
    dealSign(); 
    return 0;
}

二.问题的描述

（1）变量说明

n 矩阵个数

p[200+5] 矩阵的维数第i个矩形的维数为 p[i*2]和p[i*2+1]

m[100+5][100+5] 表示当前矩阵i到矩阵j最少的计算次数

s[100+5][100+5] 表示当前矩阵i到矩阵j最少计算次数需要断开的位置为s[i][j]

l[100+5] l[i].num表示矩阵i需要的左括号为l[i].num个

r[100+5] r[i].num表示矩阵i需要的右括号为r[i].num个

（2）函数说明

MatrixChain 求当前矩阵的最小连乘次数并记录断点

Traceback 通过递归的方法找到断点并加括号

dealSign 输出最小连乘次数的计算顺序

（3）程序解释

1.使用cin输入流输入矩阵的个数并分别输入每个矩阵的维数，用p[]数组保存，对于第i个矩阵而言，第i个矩阵的行数为p[2*i],第i个矩阵的列数为p[2*i+1].然后执行MatrixChain函数。

2.在MatrixChain函数中，首先使用memeset函数对m[][]数组进行初始化，然后使用了三重for循环。

第一重for循环的变量r表示当前要执行的矩阵连乘的长度。

第二重for循环的i表示长度为r的矩阵连乘的起始位置，然后使用j=i+r-1得到长度为r的矩阵连乘的结束位置。其中m[i][j]=m[i+1][j]+p[2*i]*p[2*i+1]*p[2*j+1]表示实现为长度为r，起始矩阵为i，结束矩阵为j的矩阵连乘假设一个断点为i。

然后就使用第三重for循环k来循环假设由i到j的断点。如果k断点得到的连乘次数小于当前的m[i][j]，则更新m[i][j],s[i][j]。

执行完以上三重for循环即得到矩阵的最小连乘次数但是还未得到计算的次数。

3.Traceback(int i,int j)函数使用递归计算最小连乘次数的计算次序。调用Traceback（1，n）其中1为矩阵的起始位置，n为矩阵连乘的个数。Traceback函数结束的条件为当前i到j得矩阵个数为1，即i=j.如果i到j的矩阵个数大于1，则递归调用Traceback（i，s[i][j]）, Traceback(s[i][j]+1,j).其中s[i][j]表示矩阵i连乘到j的断开点。最后输出结果即可。

4.dealSign方法输出括号和矩阵

三.实验结果

矩阵连乘问题（动态规划）_动态规划