Csdn利用动态规划解决矩阵连乘问题java 动态规划 矩阵连乘

    给定n个矩阵{A₁,A₂,…,A_n}，其中A_i与A_i+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。考察这n个矩阵的连乘积A₁A₂…A_n。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序，这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法（有改进的方法，这里不考虑）计算出矩阵连乘积。若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB的标准算法中，需要进行pqr次数乘。

     矩阵连乘积的计算次序不同，计算量也不同，举例如下：

     先考察3个矩阵{A₁,A₂,A₃}连乘，设这三个矩阵的维数分别为10×100，100×5，5×50。若按（（A₁A₂）A₃）方式需要的数乘次数为10×100×5＋10×5×50＝7500，若按（A₁（A₂A₃））方式需要的数乘次数为100×5×50＋10×100×50＝75000。

下面使用动态规划法找出矩阵连乘积的最优计算次序。

I: 设矩阵连乘积A_iA_i+1…A_j简记为A[i:j]，设最优计算次序在A_k和A_k+1之间断开，则加括号方式为：（（A_iA_i+1…A_k）（A_k+1…A_j））。则依照这个次序，先计算A[i:k]和A[K+1:j]然后再将计算结果相乘，计算量是：A[i:k]的计算量加上A[K+1:j]的计算量再加上它们相乘的计算量。问题的一个关键是：计算A[i:j]的最优次序所包含的两个子过程（计算A[i:k]和A[K+1:j]）也是最优次序。

II: 设计算A[i:j]所需的最少数乘次数为m[i][j]。

1. i=j时为单一矩阵，则m[i][i]=0；
2. i<j时，设最优计算次序在A_k和A_k+1之间断开，则m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p_i-1p_kp_j，其中p表示数组的维数。k此时并未确定，需要从i到j-1遍历以寻找一个最小的m[i][j]。我们把这个最小的k放在s[i][j]。其中s[i][j]记录了断开的位置，即计算A[i:j]的加括号方式为：(A[i:s[i][j]])*(A[s[i][j]+1:j])

其动态规划递归公式如下：

其中m[i][j]就是Ai...Aj这 j-i+1 个矩阵连乘需要的最少的乘法次数。

 1: /** 
   2:  * 下面是矩阵连乘问题的动态规划算法 
   3:  * 假设有6个矩阵： 
   4:  *   A1    A2   A3   A4    A5   A6 
   5:  * 30*35 35*15 15*5 5*10 10*20 20*25 则matrixChain为 
   6:  * {30, 35, 15, 5, 10, 20, 25} 结果为 
   7:  * ((A1 * (A1 * A2)) * ((A4 * A5) * A6) ) 
   8:  */  
   9: public class MatrixMultiply {
  10:     // Traceback打印A[i:j]的加括号方式
  11:     public static void traceback(int[][] s, int i, int j) {
  12:         //s[i][j]记录了断开的位置，即计算A[i:j]的加括号方式为：
  13:         //(A[i:s[i][j]])*(A[s[i][j]+1:j])
  14:         if (i == j)
  15:             return;
  16:         traceback(s, i, s[i][j]);//递归打印A[i:s[i][j]]的加括号方式
  17:         traceback(s, s[i][j] + 1, j);//递归打印A[s[i][j]+1:j]的加括号方式
  18:         System.out.println("Multiply A(" + i + "," + s[i][j] + ")and A("
  19:                 + (s[i][j] + 1) + "," + j+")");
  20:  
  21:     }
  22:  
  23:     public static void matrixChain(int[] p, int[][] m, int[][] s) {
  24:         int n = p.length - 1;
  25:         for (int i = 0; i <= n; i++)
  26:             m[i][i] = 0;
  27:         // 上三角矩阵
  28:         for (int r = 2; r <= n; r++)//r为连乘矩阵的个数   
  29:             for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {//i就是连续r个矩阵的第一个 
  30:                 int j = i + r - 1;//j就是连续r个矩阵的最后一个   
  31:                 m[i][j] = 99999999;//m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];
  32:                 s[i][j] = i;
  33:                 //求m[i][j],m[i][j]就是Ai...Aj这 j-i+1 个矩阵连乘需要的最少的乘法次数
  34:                 for (int k = i; k < j; k++) {
  35:                     //A[i]的维数为：p[i - 1] * p[k]
  36:                     int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
  37:                     if (t < m[i][j]) {//寻找最小值 
  38:                         m[i][j] = t; 
  39:                         s[i][j] = k;//记录划分标记  
  40:                     }
  41:                 }
  42:             }
  43:         
  44:         
  45:         //n个矩阵连乘的最少相乘次数
  46:         System.out.println("给定的"+n+"个矩阵连乘的最少相乘次数:"+m[1][n]);
  47:         printM(m);
  48:         printS(s);
  49:     }
  50:  
  51:     private static void printM(int[][] m) {
  52:         // TODO Auto-generated method stub
  53:         for (int i = 1; i < 7; i++) {
  54:             for (int j = 1; j < 7; j++) {
  55:                 System.out.print(m[i][j] + "\t");
  56:             }
  57:             System.out.println();
  58:         }
  59:     }
  60:     
  61:     private static void printS(int[][] s) {
  62:         // TODO Auto-generated method stub
  63:         for (int i = 1; i < 7; i++) {
  64:             for (int j = 1; j < 7; j++) {
  65:                 System.out.print(s[i][j] + "\t");
  66:             }
  67:             System.out.println();
  68:         }
  69:     }
  70:  
  71:     public static void main(String[] args) throws Exception {
  72:         int[][] m = new int[7][7];
  73:         int[][] s = new int[7][7];
  74:         int[] p = new int[] { 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25 };
  75:         matrixChain(p, m, s);
  76:         //((A1(A2A3))((A4A5)A6))
  77:         traceback(s, 1, 6);
  78:     
  79:     }
  80: }