矩阵连乘-动态规划



问题：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

分析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

       完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

     （1）单个矩阵是完全加括号的；

     （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)

       例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。

矩阵A和矩阵B可乘的条件是矩阵A的列数等在于矩阵B的行数。若A是一个P*Q的矩阵，B是一个Q*R的矩阵，则其乘积C=A*B

是一个P*R的矩阵，上述计算C的标准算法中，主要就是你量在三重循环，总共需要P*Q*R次数乘。

具体算法程序如下：

 

#include <iostream>
using namespace std;

const int L = 7;

int Matrix(int *p,int n,int **m,int **s);//计算最优值
void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解

int main()
{
    int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};

    int **s = new int *[L];
    int **m = new int *[L];
    for(int i=0;i<L;i++)
    {
        s[i] = new int[L];
        m[i] = new int[L];
    }

    cout<<"矩阵的最少计算次数为："<<Matrix(p,6,m,s)<<endl;
    cout<<"矩阵最优计算次序为："<<endl;
    Traceback(1,6,s);
    return 0;
}

int Matrix(int *p,int n,int **m,int **s)
{
    for(int i=1; i<=n; i++)//整个矩阵的对角线全部赋值0
    {
        m[i][i] = 0;
    }
    for(int r=2; r<=n; r++) //r个矩阵连乘
    {
        for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//行循环
        {
            int j = i+r-1;//循环结束时的末位置最后一个矩阵的坐标

            m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )，i此处i相当于k

            s[i][j] = i;

            for(int k=i+1; k<j; k++)
            {
                //从i+1开始到j结束循环查找最小值
                int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<m[i][j])//最小值比较
                {
                    m[i][j] = t;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    return m[1][L-1];//矩阵右上角的值即为最优解
}

void Traceback(int i,int j,int **s)
{
    if(i==j) return;
    Traceback(i,s[i][j],s);
    Traceback(s[i][j]+1,j,s);
    cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j];
    cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;
}

 

运行结果如下：