暑假集训 ---- FFT&FWT

​​「THUPC 2017」小 L 的计算题 / Sum​​​ 构造生成函数$F(x)=\sum_{i=0}^n f_i*x^i$
则有 $F(x)=\sum_{i=0}^n f_i*x^i=\sum_{i=0}^n x^i \sum_{j=1}^n a_j^i$
$=\sum_{j=1}^n \sum_{i=0}^n(a_j*x)^i=\sum_{j=0}^n\frac{1}{1-a_j*x}$
考虑到 $ln(1-x)'=\frac{-1}{1-x}$,想办法构造出来
$\sum_{j=0} ^ n \frac{1}{1-a_j*x}=\sum_{j=0}^n1-\frac{a_j*x}{1-a_j*x}=n-x\sum_{j=1}^n\frac{-a_j}{1-a_j*x}$
$=n-x*(\sum_{j=1}^n ln(1-a_j*x))'=n-x*ln(\prod (1-a_j*x))$
然后就可以分治 $FFT$ + 多项式 $ln$
​​集训队作业2018: 复读机​​ 单位根反演：$[d|i]=\frac{\sum_{j=0}^{d-1}w^{ij}_d}{d}$
构造每个人的生成函数，选的顺序有影响 $F(x)=\sum_{i=1}^k[d|i]\frac{x^i}{i!}$
$F(x)=\sum_i\frac{\sum_{j=0}^{d-1}w^{ij}_d}{d}*\frac{x^i}{i!}$
$=\frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}\sum_i\frac{(w_d^{j}*x)^i}{i!}=\frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}\sum_ie^{w_d^j*x}$
$d=2$时, $(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^k=\frac{\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}e^{i*2-k}}{2^k}$
第 n 项就是 $\frac{\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(i*2-k)^n}{2^k*n!}$，由于要考虑顺序，最后还要乘一个 $n!$
$d=3$时, 直接暴力枚举$w(3, 0), w(3, 1), w(3, 2)$ 出现了多少次
$ans=\frac{\sum_{i+j+l=k}\frac{k!}{i!*j!*l!}e^{i*w_3^0+j*w_3^1+l*w_3^2}}{2^k}=\frac{\sum_{i+j+l=k}\frac{k!}{i!*j!*l!}(i*w_3^0+j*w_3^1+l*w_3^2)^n}{2^k}$
​​[CTSC2010]性能优化​​ 先来复习一下普通的FFT
$f(w_{n}^k)=\sum_{i=0}^na_i*(w_n^k)^i=\sum_{i=0}^{n/2}a_{i*2}*(w_n^k)^{2*i}+\sum_{i=0}^{n/2}a_{i*2+1}*(w_n^k)^{2*i+1}$
$=f_0(w_{n/2}^k)+w_{n}^k*f_1(w_{n/2}^k)$
对于混合基FFT, 有
$f(w_{n}^k)=\sum_{i=0}^na_i*(w_n^k)^i=\sum_{i=0}^{n/p}a_{i*p}*(w_n^k)^{p*i}+\sum_{i=0}^{n/p}a_{i*p+1}*(w_n^k)^{p*i+1}+...+\sum_{i=0}^{n/p}a_{i*p+p-1}*(w_n^k)^{p*i+p-1}=f_0(w_{n/p }^k)+w_{n}^k*f_1(w_{n/p}^k)+...+w_{n/p}^{k*(p-1)}*f_{p-1}(w_{n/p}^k)$
同样可以分治
​​[WC2018]州区划分​​ 考虑朴素的DP, 令$f_s$ 表示把集合S分为若干个集合的不满意度之和, $g_s$表示集合 S 的人口和
$f_S=\sum_{T \subseteq S}f_{S\bigotimes T}*\frac{g(T)}{g(S)}$
发现是一个子集卷积
$f_s=\frac{1}{g_s}\sum_{i\cup j=s,|i|+|j|=|s|}f_{i}*g_j$
对于第二个限制，我们可以构造一个$f_{i,S}$ , 只有当 $popcnt(s) = i$ 时才有值
然后按 i 从小到大处理，然后FWT, 每次把 $popcnt(s) != i$ 的位置清零就满足了两个限制