欧拉函数--通式证明、线性筛分析、部分性质

学习参考博客来自：​​自为风月马前卒​​、 

​​DYT_B​​

欧拉函数通式证明

int phi(int n){
  int ans = n;
  for(int i=2; i*i<=n; i++){
    if(n%i==0){
      ans = ans/i*(i-1);
      while(n%i==0)n/=i;
    }
  }
  if(n>1)ans = ans/n*(n-1);
  return ans;
}

线性筛

//写在前面
//对于欧拉函数有如下三条性质 p为素数
//1、phi(p)=p-1
//2、当p与i互质时有: phi(p*i)=phi(p)*phi(i)
//3、当i%p==0时有：phi(p*i)=p*phi(i)
#include <iostream>
#include <string.h>
#define maxn 1005
using namespace std;
int visit[maxn];
int prime[maxn];//保存素数
int phi[maxn];//记录下标的欧拉函数
int tot;//记录素数的个数
void euler()
{
  memset(visit,0,sizeof(visit));
  phi[1]=1;
  for(int i=2;i<maxn;i++)
  {
    if(!visit[i])//当i为素数时
    {
      prime[tot++]=i;
      phi[i]=i-1;
    }
    for(int j=0;j<tot;j++)
    {
      int mid=i*prime[j];
      if(mid>maxn)break;
      visit[mid]=1;
      if(i%prime[j]==0)
      {
        phi[mid]=phi[i]*prime[j];//性质3
      }
      else
      {
        phi[mid]=phi[i]*phi[prime[j]];//性质2
      }
    }
  }
}
int main()
{
  euler();
  for(int i=1;i<100;i++)cout<<phi[i]<<' ';
}

性质：在区间 [1 ,  N] 中与N互质的数的总和为：φ ( N )  *  N  /  2  ( N > 1)
证明：

由上面证明知：gcd(n, m) == 1  所以 gcd(n, n - m) == 1  (n > m)

与n互质的一个数为m，所以另一个与n互质的数应该为 n - m，所以与n互质的平均数是 n / 2 ,所以总和为：φ ( N )  *  N  /  2 且 ( N > 1)