关于线性筛欧拉函数的相关证明

for (ll i = 2; i <= n; i++) {
  if (!bz[i]) pri[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
  for (ll j = 1; j <= cnt and i * pri[j] <= n; j++) {
    bz[i * pri[j]] = 1;
    if (i % pri[j] == 0) {phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j]; break;}
    else phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
  }
}

板子先放在这里
主要的问题是两个：
$i\%pri[j]=0$时，$phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j]$
$i\%pri[j]\ne 0$时，$phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]]$（这里的$phi[pri[j]]$就是$pri[j]-1$）
现在把$pri[j]$写做$p$，因为好打
下面第二个比较好理解，因为$i$与$p$互质，所以满足积性性
第一个就另外需要一些不太严谨的证明：
设$n$与$i$不互质，即$n$与$i$有公因子，则$n+i$与$i$不互质
$[1,i]$中与$i$不互质的数有$i-\phi(i)$个
因为$n+i$与$i$不互质，所以$[i+1,i+i]$中与$i$不互质的数也有$i-\phi(i)$个
得出$[1,i*p]$中与$i$不互质的数有$p*i-p*\phi(i)$个
$i\%p=0$，则$i$与$p$互质，$i$与$p$没有公共因子
$[1,i*p]$中与$i*p$不互质的数有$p*i-p*\phi(i)=p*i-\phi(i*p)$
所以$p*\phi(i)=\phi(p*i)$
即可得出上面代码中的式子