本文只证明
φ ( n ) = n ∏ i = 1 k ( 1 − 1 p i ) \varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^k(1-\dfrac{1}{p_i}) φ(n)=ni=1∏k(1−pi1)
证明需要的东西：
- 积性函数的性质
- 算术基本定理
- φ ( p k ) = p k − p k − 1 = p k − 1 ( p − 1 ) \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1) φ(pk)=pk−pk−1=pk−1(p−1)
关于第三个前置知识的证明：
证明
φ ( n ) = ∏ i = 1 k φ ( p i a i ) \large\varphi(n)=\prod\limits_{i=1}^k \varphi(p_{i}^{a_i}) φ(n)=i=1∏kφ(piai) 算术基本定理+积性函数性质
φ ( n ) = ∏ i = 1 k ( p i a i − 1 ( p i − 1 ) ) = ∏ i = 1 k ( p i a i ( 1 − 1 p i ) ) \varphi(n)=\prod\limits_{i=1}^k(p_i^{a_i-1}(p_i-1))=\prod\limits_{i=1}^k(p_i^{a_i}(1-\dfrac{1}{p_i})) φ(n)=i=1∏k(piai−1(pi−1))=i=1∏k(piai(1−pi1))
= ∏ i = 1 k p i a i ∏ i = 1 k ( 1 − 1 p i ) =\prod\limits_{i=1}^kp_i^{a_i}\prod\limits_{i=1}^k(1-\dfrac{1}{p_i}) =i=1∏kpiaii=1∏k(1−pi1)
= n ∏ i = 1 k ( 1 − 1 p i ) =n\prod\limits_{i=1}^k(1-\dfrac{1}{p_i}) =ni=1∏k(1−pi1)
证毕。
具体其他的一些性质见我的其他文章：
