1.对 n > 1 n>1 n>1， ∑ g c d ( n , i ) = 1 i = n × φ ( n ) 2 \sum\limits_{gcd(n,i)=1}i=\dfrac{n\times\varphi(n)}{2} gcd(n,i)=1∑i=2n×φ(n)
证明: ∵ g c d ( n , i ) = g c d ( n , n − i ) \because gcd(n,i)=gcd(n,n-i) ∵gcd(n,i)=gcd(n,n−i).因此互质的数以一对组成。
且 i + ( n − i ) = n i+(n-i)=n i+(n−i)=n.
每个互质的数的平均值为 n 2 \dfrac{n}{2} 2n
所以原式 = n 2 × φ ( n ) =\dfrac{n}{2}\times\varphi(n) =2n×φ(n)
证毕.
2. f ( n ) = ∑ d ∣ n φ ( d ) = n f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)=n f(n)=∑d∣nφ(d)=n
证明：设 n , m n,m n,m互质 f ( n m ) = ∑ d ∣ n m φ ( d ) = ∑ d 1 ∣ n φ ( d 1 ) × ∑ d 2 ∣ m φ ( d 2 ) = f ( n ) × f ( m ) f(nm)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=\sum_{d_1|n}\varphi(d_1)\times\sum_{d_2|m}\varphi(d_2)=f(n)\times f(m) f(nm)=∑d∣nmφ(d)=∑d1∣nφ(d1)×∑d2∣mφ(d2)=f(n)×f(m) 为积性函数。
因为（ φ ( d ) \varphi(d) φ(d)为积性函数，且 n , m n,m n,m互质,所以 d 1 , d 2 d_1,d_2 d1,d2也是互质,所以可以分开写 )
对 n n n的某个因子 p k p^k pk, f ( p k ) = φ ( 1 ) + φ ( p ) + … φ ( p k ) f(p^k)=\varphi(1)+\varphi(p)+\dots\varphi(p^k) f(pk)=φ(1)+φ(p)+…φ(pk)
由 φ ( p i ) = p i − p i − 1 ( i > 0 ) \varphi(p^i)=p^i-p^{i-1}(i>0) φ(pi)=pi−pi−1(i>0)
f ( p k ) = 1 + p − p 0 + p 2 − p 1 + … p k − p k − 1 = p k f(p^k)=1+p-p^0+p^2-p^1+\dots p^k-p^{k-1}=p^k f(pk)=1+p−p0+p2−p1+…pk−pk−1=pk
因此 f ( n ) = ∏ i = 1 k f ( p i a i ) = p 1 a 1 × p 2 a 2 … p k a k = n f(n)=\prod\limits_{i=1}^kf(p_i^{a_i})=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}=n f(n)=i=1∏kf(piai)=p1a1×p2a2…pkak=n
证毕.
