欧拉函数积性性的证明

若$m,n$互质，则$\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$
由$m,n$互质可知$m,n$无公因数，$\phi(m)\phi(n)=m(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})n(1-\frac{1}{p_1^{'}})(1-\frac{1}{p_2^{'}})...(1-\frac{1}{p_k^{'}})$
其中$p_1,p_2,...,p_n$为$m$的质因数,$p_1^{'},p_2^{'},...,p_n^{'}$为$n$的质因数，而$m,n$无公因数
所以$p_1,p_2...,p_n,p_1^{'},p_2^{'},...,p_n^{'}$互不相同,所以$p_1,p_2...,p_n,p_1^{'},p_2^{'},...,p_n^{'}$均为$m,n$的质因数且为$m,n$质因数的全集
所以$\phi(mn)=mn(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})(1-\frac{1}{p_1^{'}})(1-\frac{1}{p_2^{'}})...(1-\frac{1}{p_k^{'}})$
所以$\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$