本次笔记内容：

6.2.1 图的遍历 - DFS

6.2.2 图的遍历 - BFS

6.2.3 图的遍历 - 为什么需要两种遍历

6.2.4 图的遍历 - 图连不通怎么办？


文章目录


深度优先搜索（Depth First Search, DFS）

深度优先搜索在无路可走时会进行“原路返回”，对于堆栈入栈出栈的操作。

伪码描述如下：

void DFS (Vertex V)
{
  visited[V] = true;
  for (V的每个邻接点W)
    if (!visited[W])
      DFS(W);
}

类似于树的先序遍历（即DFS是树的先序遍历的推广）。

若有N个顶点、E条边，时间复杂度是：

  • 用邻接表存储图，有O(N+E)
  • 用邻接矩阵存储图，有O(N^2)

广度优先搜索（Breadth First Search, BFS）

广度优先实际上时树的层序遍历的推广，操作对应于队列的出队入队行为。

伪码描述如下：

void BFS (Vertex V)
{
  visited[V] = true;
  Enqueue(V, Q);  // 入队
  while(!IsEmpty(Q)) {
    V = Dequeue(Q);
    for (V的每个邻接点W) 
      if (!visited[W]) {
        visited[W] = true;
        Enqueue(W, Q);
      }
  }
}

若有N个顶点、E条边，时间复杂度是：

  • 用邻接表存储图，有O(N+E)
  • 用邻接矩阵存储图，有O(N^2)

为什么需要两种遍历？

【数据结构笔记21】图的遍历，DFS与BFS，连通图_广度优先搜索

如上图，大侠想要到达绿色出口，使用DFS可能经历许多格子。

【数据结构笔记21】图的遍历，DFS与BFS，连通图_连通分量_02

如上图，大侠想要到达绿色出口，使用BFS经历较少格子。

但是，如果问题不同（比如换到其他位置），DFS可能更好用。

图不连通怎么办？

连通与路径的相关定义

通用定义与无向图
  • 连通：如果从V到W存在一条（无向）路径，则称V和W是连通的。
  • 路径：V到W的路径是一系列顶点{V,v_1,v_2,…,v_n,W}的集合，其中任一对相邻的顶点间都有图中的边。
  • 路径的长度：路径中的边数（如果带权，则是所有边的权重和）。如果V到W之间的所有顶点都不同，则称为​简单路径​。
  • 回路：起点等于终点的路径。
  • 连通图：图中任意两点连通。
  • 连通分量：无向图的​极大​连通子图：
  • 极大顶点数：再加1个顶点就不连通了；
  • 极大边数：包含子图中所有顶点相连的所有边。

【数据结构笔记21】图的遍历，DFS与BFS，连通图_连通图_03

如上图，左边两个是G的连通分量。

对于有向图
  • 强连通：有向图中顶点V和W之间存在双向路径，则称V和W是强连通的；
  • 强连通图：有向图中任意两顶点均强连通；
  • 强连通分量：有向图的极大连通子图。

【数据结构笔记21】图的遍历，DFS与BFS，连通图_强连通_04

如上图，G有两个强连通分量。

而弱连通，即非强连通，将有向图改为无向图后也是连通的。

【数据结构笔记21】图的遍历，DFS与BFS，连通图_连通图_05

如上图所示，如果想要访问图中所有顶点，可采用DFS或BFS辅助。