今天我来聊聊函数的几个特性。

函数的单调性

函数的单调性跟我们初中强调的东西很像。不提初中的东西了，上高中的概念。

 

\[\forall x_1,x_2\in I , x_1 < x_2 \]

 

有

 

\[f(x_1) < f(x_2) (f(x_1) > (x_2)) \]

 

则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上递增（减）。

这应该很好理解吧？

\(f(x)\)在\(I\)上递增也可以表示为

 

\[\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2,\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > 0 \]

 

或

 

\[\forall x_1,x_2\in I,x_1\ne x_2,(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)] > 0 \]

 

1.定义法

对 \(f(x_1)-f(x_2)\) 进行代数变形，之后学了导数会得心应手。

2.运算法

（下面增函数简称\(z\)，减函数简称\(j\)）

 

\[z+z=z \]

 

 

\[j+j=j \]

 

 

\[z/j*\mathbb{R}^+=z/j \]

 

 

\[z/j*\mathbb{R}^-=j/z \]

 

3.复合函数的单调性

复合函数的单调性满足同增异减。

函数的奇偶性

如果自变量取相反数，函数值不变，则为偶函数；函数值也变为相反数，则为奇函数 。

定义在\(D\)上的函数\(f(x)\)为奇函数（奇函数关于原点对称）

 

\[\forall x\in D,f(-x)=-f(x) \]

 

这个应该很好理解，取相反数吗，下面来看看怎么判断奇偶性。

1.定义法

定义域对称的话，直接将\(f(-x)\)向\(f(x)\)方向变形。对于比较复杂的函数，先取一对特殊值判断出可能的奇偶性，再直接计算\(f(-x)+f(x)\)或\(f(-x)-f(x)\)的值。

2.图像法

看数学语言的括号内写的什么。

3.运算法

（下面奇函数简称\(j\)，偶函数简称\(o\)）

 

\[j/o\pm j/o=j/o \]

 

 

\[j/o*j/o=o \]

 

 

\[j*o=j \]

 

4.奇偶性的复合：定义域满足条件下，有偶则偶，无偶则奇。

函数的对称性

这个东西今天聊一半，咱们今天只聊轴对称函数。

函数 \(f(x)\) 的图像关于 \(x=a\) 轴对称，当且仅当 \(f(a+x)=f(a-x)\) 对定义域内的 \(x\) 恒成立。即自变量的和为 \(2a\) 时，函数值相等。函数 \(f(x)\) 的图像关于 \(x=a\) 对称，与函数 \(y=f(x+a)\) 是偶函数等价。偶函数是特殊的轴对称函数。

好的，今天我们就先聊到这里