这次我们来聊聊映射与函数。
先看看映射。上定义：
对于 \(A,B\) 两个集合，有法则 \(f\) ：每一个 \(A\) 中元素 \(x\) 都有唯一确定的元素 \(y(y\in B)\) 与之对应。这就是映射的简单过程。写作 \(f:A\rightarrow B\) 。
给一点概念，\(A\) 叫做定义域，\(B\) 叫做陪域，\(x\) 叫做原象，\(y\)叫做象，\(\left\{y|y=f(x),x\in A\right\}\) 叫做值域（象集） 。
陪域和值域不是一个概念，比如说来看下面这个例子：
集合 \(A=\left\{x_1,y_1,z_1\right\}\) ，\(B=\left\{x_2,y_2,z_2\right\}\) 。有映射 \(f:A\rightarrow B\) ，\(f(x_1)=x_2\) ，\(f(y_1)=x_2\) ， \(f(z_1)=y_2\)，那这个映射的陪域是 \(B=\left\{x_2,y_2,z_2\right\}\) ，值域是 \(\left\{x_2,y_2\right\}\) ，因为 \(z_2\) 没有被任何在 \(A\) 中的元素映射。
来看几个特殊的映射：
单射：如果 \(f(x_1)=f(x_2)=y\) 就有 \(x_1=x_2\) 。
满射：任意 \(y \in B\) 存在 \(x \in A\) 使得 \(f(x)=y\) 。
一一映射（双射）：单射 \(\cap\) 满射 。
函数也是一种映射，我们来看看函数的标准定义。
从数集 \(A\) 到数集 \(B\) 的映射 \(f:x\mapsto y\) 称为函数，\(x\) 为自变量，\(y\) 为因变量。
注意，初中的函数定义重在变化，高中的函数定义重在对应 。
函数的三要素：定义域，对应法则，值域 。
首先是列表法，及列一个表，跳过。
然后是解析式法
，
最后是图像法 。（画出函数图像）
看看常见函数：
然后一群数学家没事瞎搞又有了复合函数。看下面的栗子。
集合\(A=\left\{x_1,y_1,z_1\right\}\)，\(B=\left\{x_2,y_2,z_2\right\}\)，\(C=\left\{x_3,y_3\right\}\)，有映射 \(f:A\rightarrow B\) 和映射\(g:B\rightarrow C\)，\(f(x_1)=x_2\)，\(f(y_1)=y_2\)，\(f(z_1)=z_2\)，\(g(x_2)=x_3\)，\(g(y_2)=x_3\)，\(g(z_2)=y_3\)，那请问我怎么从\(y_1\)得到\(x_3\)？答案就是 \(g(f(y_1))=x_3\) ,表示为 \(g \circ f\)
下面来看看函数迭代。有数集 \(A\) ，有映射 \(f:A\rightarrow A\) ，那么这个函数就是 \(f(f(x))\) 。
还有一个定义叫反函数，映射中叫逆映射，举个栗子。
有函数 \(f:x\mapsto y\) ，那有 \(f\) 的反函数 \(f^{-1}:y\mapsto x\) 。
这次我们就聊到这里 。
