在计算高等数学中的重积分之时,常常会遇到需要变换积分变量的情况。一般,这是由于坐标轴的替换。 当坐标轴进行变化,积分变量不会还是\(dxdy\),或者是三维的\(dxdydz\)。那么,新的积分变量是如何得出的呢?

不难发现,这本质上是一个重积分的换元过程一重积分的换元法我们应该还记得是:

\[x\Rightarrow t \space|\space (x=X(t))\\ \int f(x)dx\Rightarrow \int f[X(t)] \frac{dx}{dt}\cdot dt \]


那么,对于二重,或者三重积分的换元,又应该如何去处理呢?如果按照形式类比下来,举例如下:

\[\begin{cases} x\\ y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} u\\ v \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(u,v)\\ y=Y(u,v) \end{cases}\\ ~\\ \int f(x,y)dxdy\Rightarrow \int f[X(u,v),Y(u,v)] \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv \]

怎么样,觉得两者相像吗?可是,\(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\)这个东西,也不知道怎么算啊?不如在这里再类比一下,比如,\(\frac{dx}{dt}\)是如何算出来的:

\[\frac{dx}{dt}= \begin{vmatrix} x_t \end{vmatrix} \]

由此可类比得:

\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} x_u&x_v\\ y_u&y_v \end{vmatrix} \]

好像得到了一个矩阵。实际上,这是雅可比矩阵。描述一个从\(\mathbb{R}_n\rightarrow\mathbb{R}_m\)的坐标空间的变换,可写作\(J\)。而,这个矩阵的行列式\(|J|\)则描述在这个过程中体积的放缩系数。 也就是说,一个在\(\mathbb{R}_n\)空间中的几何体,经由\(J\)映射到\(\mathbb{R}_m\)后,它的体积将会是原来的\(|J|\)倍。其可称为雅可比行列式

既然如此,而\(dxdy\)是一个\(\mathbb{R}_n\)中的体积微元,那么它在\(\mathbb{R}_m\)中的体积也就是\(|J|dudv\)。至此,便已经解释清楚积分变量的替换是如何进行的了。

我为最常见的\(\mathbb{R}_m\)做了一个用于表示分类的思维导图,如下:


graph LR a[积分]-->d[二重积分] a-->e[三重积分] d-->f[极坐标系] e-->g[柱面坐标系] e-->h[球面坐标系] style a fill:#01a2a6 style d fill:#bdf271 style e fill:#bdf271 style f fill:#ffffa6 style g fill:#ffffa6 style h fill:#ffffa6

下面,逐一为上图中所涉及到的\(\mathbb{R}_m\)求解\(|J|\),得出对应的新的积分变量。


\[\begin{cases} x\\ y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} u\\ v \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(u,v)\\ y=Y(u,v) \end{cases} \]

\[\Rightarrow dxdy=|J|\cdot dudv\\ (|J|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} x_u&x_v\\ y_u&y_v \end{vmatrix} =x_u\times y_v-x_v\times y_u ) \]

对于二重积分的极坐标,有:

\[\begin{cases} x\\ y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \rho\\ \theta \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(\rho,\theta)=\rho\cdot cos\theta\\ y=Y(\rho,\theta)=\rho\cdot sin\theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{\rho}=cos\theta\\ x_{\theta}=-\rho\cdot sin\theta\\ y_{\rho}=sin\theta\\ y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta \end{cases} \]

\[\Rightarrow dxdy=|J|\cdot d\rho d\theta \\ (|J|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho ,\theta )}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}\\ y_{\rho}&y_{\theta} \end{vmatrix} =x_{\rho}\times y_{\theta}-x_{\theta}\times y_{\rho}=\rho )\\ \Rightarrow dxdy=\rho\cdot d\rho d\theta \]

对于三重积分的柱面坐标,有:

\[\begin{cases} x\\ y\\ z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \rho\\ \theta\\ z \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(\rho,\theta,z)=\rho\cdot cos\theta\\ y=Y(\rho,\theta,z)=\rho\cdot sin\theta\\ z=Z(\rho,\theta ,z)=z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{\rho}=cos\theta\\ x_{\theta}=-\rho\cdot sin\theta\\ x_z=0\\ y_{\rho}=sin\theta\\ y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta\\ y_z=0\\ z_{\rho}=0\\ z_{\theta}=0\\ z_z=1 \end{cases} \]

\[\Rightarrow dxdydz=|J|\cdot d\rho d\theta dz\\ (|J|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho ,\theta ,z)}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}&x_z\\ y_{\rho}&y_{\theta}&y_z\\ z_{\rho}&z_{\theta}&z_z \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}&0\\ y_{\rho}&y_{\theta}&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{\rho}&x_{\theta}\\ y_{\rho}&y_{\theta} \end{vmatrix} =x_{\rho}\times y_{\theta}-x_{\theta}\times y_{\rho}=\rho )\\ \Rightarrow dxdydz=\rho\cdot d\rho d\theta dz \]

对于三重积分的球面坐标,有:

\[\begin{cases} x\\ y\\ z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} r\\ \theta\\ \varphi \end{cases} \quad \Bigg| \quad \begin{cases} x=X(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta cos\varphi\\ y=Y(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta sin\varphi\\ z=Z(r,\theta ,\varphi)=r\cdot cos\theta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x_{r}=sin\theta cos\varphi\\ x_{\theta}=r\cdot cos\theta cos\varphi\\ x_{\varphi}=-r\cdot sin\theta sin\varphi\\ y_{r}=sin\theta sin\varphi\\ y_{\theta}=r\cdot cos\theta sin\varphi\\ y_{\varphi}=r\cdot sin\theta cos\varphi\\ z_{r}= cos\theta\\ z_{\theta}=-r\cdot sin\theta\\ z_{\varphi}=0 \end{cases} \]

\[\Rightarrow dxdydz=|J|\cdot dr d\theta d\varphi\\ (|J|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r ,\theta ,\varphi)}= \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\theta}&x_{\varphi}\\ y_{r}&y_{\theta}&y_{\varphi}\\ z_{r}&z_{\theta}&z_{\varphi} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\theta}&x_{\varphi}\\ y_{r}&y_{\theta}&y_{\varphi}\\ z_{r}&z_{\theta}&0 \end{vmatrix}=z_r\times \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\theta}\\ y_{r}&y_{\theta} \end{vmatrix}-z_{\theta}\times \begin{vmatrix} x_{r}&x_{\varphi}\\ y_{r}&y_{\varphi} \end{vmatrix}\\ \Rightarrow z_r\times(x_r\cdot y_{\theta}-x_{\theta}\cdot y_r)-z_{\theta}\times (x_r\cdot y_{\varphi}-x_{\varphi}\cdot y_r)=r^2sin\theta\\ dxdydz=r^2sin\theta\cdot d\rho d\theta dz \]