在计算高等数学中的重积分之时,常常会遇到需要变换积分变量的情况。一般,这是由于坐标轴的替换。 当坐标轴进行变化,积分变量不会还是\(dxdy\),或者是三维的\(dxdydz\)。那么,新的积分变量是如何得出的呢?
不难发现,这本质上是一个重积分的换元过程。一重积分的换元法我们应该还记得是:
\[x\Rightarrow t \space|\space (x=X(t))\\
\int f(x)dx\Rightarrow \int f[X(t)] \frac{dx}{dt}\cdot dt
\]
那么,对于二重,或者三重积分的换元,又应该如何去处理呢?如果按照形式类比下来,举例如下:
\[\begin{cases}
x\\
y
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
u\\
v
\end{cases}
\quad \Bigg| \quad
\begin{cases}
x=X(u,v)\\
y=Y(u,v)
\end{cases}\\
~\\
\int f(x,y)dxdy\Rightarrow \int f[X(u,v),Y(u,v)] \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv
\]
怎么样,觉得两者相像吗?可是,\(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\)这个东西,也不知道怎么算啊?不如在这里再类比一下,比如,\(\frac{dx}{dt}\)是如何算出来的:
\[\frac{dx}{dt}=
\begin{vmatrix}
x_t
\end{vmatrix}
\]
由此可类比得:
\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=
\begin{vmatrix}
x_u&x_v\\
y_u&y_v
\end{vmatrix}
\]
好像得到了一个矩阵。实际上,这是雅可比矩阵。描述一个从\(\mathbb{R}_n\rightarrow\mathbb{R}_m\)的坐标空间的变换,可写作\(J\)。而,这个矩阵的行列式\(|J|\)则描述在这个过程中体积的放缩系数。 也就是说,一个在\(\mathbb{R}_n\)空间中的几何体,经由\(J\)映射到\(\mathbb{R}_m\)后,它的体积将会是原来的\(|J|\)倍。其可称为雅可比行列式。
既然如此,而\(dxdy\)是一个\(\mathbb{R}_n\)中的体积微元,那么它在\(\mathbb{R}_m\)中的体积也就是\(|J|dudv\)。至此,便已经解释清楚积分变量的替换是如何进行的了。
我为最常见的\(\mathbb{R}_m\)做了一个用于表示分类的思维导图,如下:
graph LR
a[积分]-->d[二重积分]
a-->e[三重积分]
d-->f[极坐标系]
e-->g[柱面坐标系]
e-->h[球面坐标系]
style a fill:#01a2a6
style d fill:#bdf271
style e fill:#bdf271
style f fill:#ffffa6
style g fill:#ffffa6
style h fill:#ffffa6
下面,逐一为上图中所涉及到的\(\mathbb{R}_m\)求解\(|J|\),得出对应的新的积分变量。
\[\begin{cases}
x\\
y
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
u\\
v
\end{cases}
\quad \Bigg| \quad
\begin{cases}
x=X(u,v)\\
y=Y(u,v)
\end{cases}
\]
\[\Rightarrow dxdy=|J|\cdot dudv\\
(|J|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=
\begin{vmatrix}
x_u&x_v\\
y_u&y_v
\end{vmatrix}
=x_u\times y_v-x_v\times y_u
)
\]
对于二重积分的极坐标,有:
\[\begin{cases}
x\\
y
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
\rho\\
\theta
\end{cases}
\quad \Bigg| \quad
\begin{cases}
x=X(\rho,\theta)=\rho\cdot cos\theta\\
y=Y(\rho,\theta)=\rho\cdot sin\theta
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x_{\rho}=cos\theta\\
x_{\theta}=-\rho\cdot sin\theta\\
y_{\rho}=sin\theta\\
y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta
\end{cases}
\]
\[\Rightarrow dxdy=|J|\cdot d\rho d\theta \\
(|J|=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho ,\theta )}=
\begin{vmatrix}
x_{\rho}&x_{\theta}\\
y_{\rho}&y_{\theta}
\end{vmatrix}
=x_{\rho}\times y_{\theta}-x_{\theta}\times y_{\rho}=\rho
)\\
\Rightarrow dxdy=\rho\cdot d\rho d\theta
\]
对于三重积分的柱面坐标,有:
\[\begin{cases}
x\\
y\\
z
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
\rho\\
\theta\\
z
\end{cases}
\quad \Bigg| \quad
\begin{cases}
x=X(\rho,\theta,z)=\rho\cdot cos\theta\\
y=Y(\rho,\theta,z)=\rho\cdot sin\theta\\
z=Z(\rho,\theta ,z)=z
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x_{\rho}=cos\theta\\
x_{\theta}=-\rho\cdot sin\theta\\
x_z=0\\
y_{\rho}=sin\theta\\
y_{\theta}=\rho\cdot cos\theta\\
y_z=0\\
z_{\rho}=0\\
z_{\theta}=0\\
z_z=1
\end{cases}
\]
\[\Rightarrow dxdydz=|J|\cdot d\rho d\theta dz\\
(|J|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho ,\theta ,z)}=
\begin{vmatrix}
x_{\rho}&x_{\theta}&x_z\\
y_{\rho}&y_{\theta}&y_z\\
z_{\rho}&z_{\theta}&z_z
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
x_{\rho}&x_{\theta}&0\\
y_{\rho}&y_{\theta}&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
x_{\rho}&x_{\theta}\\
y_{\rho}&y_{\theta}
\end{vmatrix}
=x_{\rho}\times y_{\theta}-x_{\theta}\times y_{\rho}=\rho
)\\
\Rightarrow dxdydz=\rho\cdot d\rho d\theta dz
\]
对于三重积分的球面坐标,有:
\[\begin{cases}
x\\
y\\
z
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
r\\
\theta\\
\varphi
\end{cases}
\quad \Bigg| \quad
\begin{cases}
x=X(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta cos\varphi\\
y=Y(r,\theta,\varphi)=r\cdot sin\theta sin\varphi\\
z=Z(r,\theta ,\varphi)=r\cdot cos\theta
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x_{r}=sin\theta cos\varphi\\
x_{\theta}=r\cdot cos\theta cos\varphi\\
x_{\varphi}=-r\cdot sin\theta sin\varphi\\
y_{r}=sin\theta sin\varphi\\
y_{\theta}=r\cdot cos\theta sin\varphi\\
y_{\varphi}=r\cdot sin\theta cos\varphi\\
z_{r}= cos\theta\\
z_{\theta}=-r\cdot sin\theta\\
z_{\varphi}=0
\end{cases}
\]
\[\Rightarrow dxdydz=|J|\cdot dr d\theta d\varphi\\
(|J|=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r ,\theta ,\varphi)}=
\begin{vmatrix}
x_{r}&x_{\theta}&x_{\varphi}\\
y_{r}&y_{\theta}&y_{\varphi}\\
z_{r}&z_{\theta}&z_{\varphi}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
x_{r}&x_{\theta}&x_{\varphi}\\
y_{r}&y_{\theta}&y_{\varphi}\\
z_{r}&z_{\theta}&0
\end{vmatrix}=z_r\times
\begin{vmatrix}
x_{r}&x_{\theta}\\
y_{r}&y_{\theta}
\end{vmatrix}-z_{\theta}\times
\begin{vmatrix}
x_{r}&x_{\varphi}\\
y_{r}&y_{\varphi}
\end{vmatrix}\\
\Rightarrow z_r\times(x_r\cdot y_{\theta}-x_{\theta}\cdot y_r)-z_{\theta}\times (x_r\cdot y_{\varphi}-x_{\varphi}\cdot y_r)=r^2sin\theta\\
dxdydz=r^2sin\theta\cdot d\rho d\theta dz
\]