ChatGPT微积分求解

如何求极限

$\lim_{x \to \infty} \left [ \int_{0}^{1} \left ( 1+ \sin \frac{\pi }{2}t \right )^{n} \mathrm{d}t \right ] ^ \frac{1}{n}$

求这个极限的一个方法是使用了一些重要的极限定理和积分的性质。首先，我们可以注意到，当 $n \to \infty$ 时，函数 $(1 + \sin(\pi / 2 * t))^n$ 将会变得很大，特别是当 $\sin(\pi / 2 * t)$

在这种情况下，我们可以观察到 $(1 + \sin(\pi / 2 * t))^n$ 在 $t \in [0,1]$ 的范围内一直大于等于 1，小于等于 $(1 + 1)^n$。利用这个性质，我们可以找到一个下界和一个上界来夹住我们的积分。

首先，对于下界，我们有：

$\int_0^1 (1)^n dt = 1$

因此，对于任何 $n$，我们知道原积分一定大于等于 1。

然后，对于上界，我们有：

$\int_0^1 (1 + 1)^n dt = 2^n$

因此，对于任何 $n$，我们知道原积分一定小于等于 $2^n$。

所以，我们有：

$1 \leq \left[ \int_{0}^{1} \left ( 1+ \sin \frac{\pi }{2}t \right )^{n} \mathrm{d}t \right] \leq 2^n$

然后，我们取 $n$

$1 \leq \left[ \int_{0}^{1} \left ( 1+ \sin \frac{\pi }{2}t \right )^{n} \mathrm{d}t \right] ^ \frac{1}{n} \leq 2$

当 $n \to \infty$

$\lim_{n \to \infty} \left[ \int_{0}^{1} \left ( 1+ \sin \frac{\pi }{2}t \right )^{n} \mathrm{d}t \right] ^ \frac{1}{n} = 1$

因此，我们的原极限就是 1。