python编程求解不定积分 python 求不定积分

本节主要使用sympy、scipy库来处理一些函数问题

文章目录

• 1.求不定积分
• 2.求定积分
• 3.解线性方程
• 4.解微分方程
• 5.求导
• 6.级数展开
• 7.求极限
• 8.求重积分

• 普通定积分问题
• 二重积分
• 三重积分

1.求不定积分

例：求$\int{logx}\,{\rm d}x$
代码如下：

from sympy import *
x = symbols('x')
y = integrate(log(x),x)
print('y=log(x)的原函数为：',y)

输出结果为：

提示：不要忘记手动+C哦

2.求定积分

例：求$\int_0^1 {x^2}\,{\rm d}x$

from sympy import *
x=symbols('x')
y=integrate(x**2,(x,0,1))#求y=x**2在（0,1）内定积分
print('y=x**2在（0,1）内的定积分为：',y)

结果：

3.解线性方程

例：求 $x^3-1=0$的解

from sympy import *
x=symbols('x')
f=x**3-1
u=solve(f)
print('x**3-1=0的解为：',u)

结果：

4.解微分方程

例：求解微分方程： $f^{$

from sympy import *
f=symbols('f',cls=Function)#定义f为函数
x=symbols('x')
eq=Eq(f(x).diff(x,2)-2*f(x).diff(x)+f(x),sin(x))#f''(x)-2f'(x)+f(x)=sin(x)
print('f\'\'(x)-2f\'(x)+f(x)=sin(x)的结果为：')
print(dsolve(eq,f(x)))

结果：

这里得出的结果为：$f(x)=(C_1+C_2x)e^{x}+\frac{cos(x)}{2}$

5.求导

例：求$y=sin(x)$的一阶导数、二阶导数

from sympy import *
x=symbols('x')
y=sin(x)
print('y=sin(x)的导数为:',y.diff(x))
print('y=sin(x)的二阶导数为:',y.diff(x,2))

结果：

6.级数展开

例：求$y=tan(x)$的展开式

from sympy import *
x=symbols('x')
y=tan(x).series(x,0,10)
print('y=tan(x)展开式:',y)

结果：

$tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\frac{62}{2835}x^9+o(x^{10})$，可以看出series函数的第三个参数为展开式无穷小的阶数

7.求极限

例：求$\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}$

from sympy import *
x=symbols('x')
y=limit(sin(x)/x,x,0)#x趋于0时sin(x)/x极限
print('x趋于0时sin(x)/x极限:',y)

结果：

即$\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=1$

8.求重积分

scipy库中的integrate也可以帮助我们求解积分问题，并且一二三重积分均可以解决

普通定积分问题

仍以$\int_0^1{x^2}\,{\rm d}x$为例：

from scipy.integrate import quad 

def f(x):
    return x**2

v,err = quad(f,#被积函数
             0,#x下限
             1)#x上限

print(v)

结果为：

我们知道结果应为$\frac{1}{3}$，可见此结果存在一定误差，因此一般不用于求出精确结果，而在解决实际问题（允许结果存在误差）时使用

二重积分

例：$\int_0^1{\rm d}x\int_0^{\sqrt{1-x^2}}1{\rm d}y$我们可以看出此式实际上是单位圆在第一象限内的面积，结果为$\frac{\pi}{4}$,约等于0.7853981634（卡西欧计算器结果）

import numpy as np
from scipy.integrate import dblquad 

def f(x,y):
    return 1

v,err = dblquad(f,#被积函数
             0,#x下限
             1,#x上限
             0,#y下限
             lambda x:np.sqrt(1-x**2))#y上限

print(v)

结果为：

可见结果还是较为精确的

三重积分

例：$\int_0^1{\rm d}z\int_0^z{\rm d}x\int_0^{\sqrt{z^2-x^2}}1{\rm d}y$实际上为底为单位圆，高为1的圆锥的体积的四分之一，结果应为$\frac{\pi}{12}$,约等于0.2617993878

import numpy as np
from scipy.integrate import tplquad 

def f(x,y,z):
    return 1

v,err = tplquad(f,#被积函数
             0,#z下限
             1,#z上限
             0,#x下限
             lambda z:z,#x上限
             0,#y下限
             lambda z,x:np.sqrt(z**2-x**2))#y上限

print(v)

结果为：