（六）【Matlab】数值微积分与方程求解

原创

二进制人工智能 2021-06-21 15:36:45 ©著作权

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【Matlab】

文章目录

笔记开源：
A 数值微分与数值积分
- A.a数值微分(diff)
- A.b 数值积分
B 线性方程组求解
- B.a 直接法
- B.b 迭代法
C 非线性方程求解与函数极值计算
- C.a 非线性方程数值求解
- C.b函数极值的计算
D 常微分方程数值求解

笔记开源：

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（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab

A 数值微分与数值积分

A.a数值微分(diff)

<1>数值差分与差商
任意函数 $f (x)$ 在 $x 0$ 点的导数是通过极限定义的：
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<2>数值微分的实现
MATLAB提供了求向前差分的函数diff，其调用格式有三种：

dx=diff(x)：计算向量x的一阶向前差分，dx(i)=x(i+1)-x(i),i=1,2,...,n-1
dx=diff(x, n) ：计算向量x的n阶向前差分。例如：diff(x, 2)=diff(diff(x))
dx=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时（默认状态），按列计算差分；dim=2时，按行计算差分。

计算差分之后，可以计算 $f （ x ）$ 在某点的差商，计算 $f^{'} (x)$ 的近似值。
例子：
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A.b 数值积分

<1>数值积分基本原理
牛顿-莱布尼茨公式：
（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab_06
按积分区间[a, b]分成n个子区间 $x_i, x_{i+1}]，i=1, 2,...,n$ ，其中 $x_1=a,x_{n+1}=b$ ，这样求定积分的问题就分解为下面的求和问题：

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<2>数值积分的实现

基于自适应辛普森方法：[l.n]=quad(filename, a, b, tol, trace)
基于自适应Gauss-Lobatto方法：[l, n]=quadl(filename, a,b,tol, trace)

其中，filename是被积函数名；a和b分别是定积分的上限和下限，积分限[a, b]必须是有限的，不能是无穷大；tol用来控制积分精度，默认时取 $tol=10^{-6}$ ；trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认trace=0；返回参数I即定积分的值。n为被积函数的调用次数。

例子：
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基于全局自适应积分方法
I=integral(filename,a,b)
其中，I是计算得到的积分；filename是被积函数；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限可以是无穷大。

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基于自适应高斯-克朗罗德方法
[I,err]=quadgk(filename, a, b)
其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与quad函数想相同。积分上下限可以是无穷大，也可以是复数。如果积分上下限为复数，则quadgk函数在复平面上求积分。

例子：
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基于梯形积分

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例子：
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<3>多重定积分的数值求解

例子：
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B 线性方程组求解

B.a 直接法

高斯消去法
列主元消去法
矩阵的三角分解法

<1>利用左除运算符直接解法
Ax=b ====> x=A\b
注意：如果矩阵A是奇异的或者接近奇异的，则MATLAB会给出警告信息。

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<2>利用矩阵分解求解线性方程组
1 LU分解
LU分解的基本方法：
（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab_17

MATLAB的LU分解函数：
[L,U]=lu(A)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L，使之满足A=LU。注意，这里的矩阵A必须是方阵。
[L,U,P]=lu(A)：产生一个上三三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PA=LU。同样，矩阵A必须是方阵。

用LU分解求解线性方程组：
（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab_18

（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab_19

2 QR分解
3 Cholesky分解

B.b 迭代法

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jacobi.m

function [y,n]=jacobi(A,b,x0,ep)
	D=diag(diag(A)); % 对角阵
	L=-tril(A,1);
	U=-triu(A,1);
	B=D\(L+U);
	f=D\b;
	y=B*x0+f;
	n=1;
	while norm(y-x0)>=ep
		x0=y;
		y=B*x0+f;
		n=n+1;	
	end

（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab_22
gauseidel.m

function [y,n]=jacobi(A,b,x0,ep)
 	D=diag(diag(A)); % 对角阵
	L=-tril(A,-1);
 	U=-triu(A,1);
 	B=(D-L)\U;
 	f=(D-L)\b;
 	y=B*x0+f;
 	n=1;
 	while norm(y-x0)>=ep
	  	x0=y;
 	 	y=B*x0+f;
  		n=n+1; 
 	end

例子：
（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab_23
有时候高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组可能不收敛。

C 非线性方程求解与函数极值计算

C.a 非线性方程数值求解

<1>单变量非线性方程求解
函数的调用格式：x=fzero(filename, x0)
其中，filename是待求根方程左端的函数表达式，x0是初始值。

（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab_26
<2>非线性方程组的求解
函数的调用格式为：
x=fsolve(filename, x0, option)
其中，x为返回的近似解，filename是待求根方程左端的函数表达式，x0是初值，option用于设置优化工具箱的优化参数，可以调用optimset函数来完成。

（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab_27

C.b函数极值的计算

极大值（最大值）
极小值（最小值）

Matlab只考虑最小值问题的计算，如果要求 $f (x)$ 的最大值，可以求 $- f (x)$ 的最小值。
<1>无约束最优化问题
无约束最优化问题的一般描述为：
（六）【Matlab】数值微积分与方程求解_matlab_28
求最小值点和最小值的函数：
[xmin, fmin]=fminbnd(filename, x1, x2, option)
[xmin, fmin]=fminsearch(filename, x0, option)
[xmin, fmin]=fminunc(filename, x0, option)
fminbnd:一元函数
fminsearch:单纯形法。多元
fminunc:拟牛顿法。多元

其中，filename是定义的目标函数。第一个函数的输入变量x1、x2分别表示被研究区间的左右边界。后两个函数的输入变量x0是一个向量，表示极值点的初值。option为优化参数，可以通过optimset函数来设置。

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<2>有约束最优化问题
有约束最优化问题的一般描述为：
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$s . t . 是 s u b j e c t t o 的缩写，表示 x 要满足后面的约束条件。$
约束条件可细化为：

线性不等式约束
线性等式约束
非线性不等式约束
非线性等式约束
x的上界和下界

求有约束条件下的最小值的函数为：
[xmin, fmin]=fmincon(filename, x0, A, b, Aeq, beq, Lbnd, Ubnd, Nonf, option)
其中，xmin, fmin,filename,x0和option的含义与求最小值函数相同。其余参数为约束条件，包括线性不等式约束、线性等式约束、x的下界和上界以及定义非线性约束的函数。如果某个约束不存在，则用空矩阵表示。

AX <= b（线性不等式约束，如果是约束是大于，则左右乘-1）
AeqX = beq（线性等式约束）
G(x) <= 0（非线性不等式约束）
Ceq(X) = 0（非线性等式约束）
Lbnd <= X <= Ubub（变量约束）

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