（熬夜肝）动态规划-最长递增子序列-金典

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wx5eb8fc190868a 2021-06-28 15:42:19

文章标签 教学动态规划单调递增 文章分类 运维

这是我参与更文挑战的第25天

什么题可以选择动态规划来做？

1.计数

有多少种方式走到右下角
有多少种方法选出k个数是的和是sum

2.求最大值最小值

从左上角走到右下角路径的最大数字和
最长上升子序列长度

3.求存在性

取石子游戏,先手是否必胜
能不能选出k个数使得和是sum

4.综合运用

动态规划 + hash
动态规划 + 递归
...

leecode 300. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]

输出：4

解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]

输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]

输出：1

提示：

1 <= nums.length <= 2500

-104 <= nums[i] <= 104

进阶：

你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？

你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

❤️❤️❤️❤️

2.1. 动态规划组成部分1：确定状态

简单的说，解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么，类似数学题中x, y, z代表什么

最后一步

我们定义 dp[i] 为考虑前 i 个元素，以第 i个数字结尾的最长上升子序列的长度

做了那么多题，很明显，要知道i的最长递增子序列，需要遍历0~i，在i前面找出比i小的数j，找到了就给d[j] + 1 （1代表出现次数），因为要求出最长，因此需要max{d[i], d[j] +1 }

最后一步，例如nums = [0,1,0,3,2,9]，就是用9区匹配前面的数，找到比i小的数，记录出现次数

1.2. 动态规划组成部分2：转移方程

dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);

1.3. 动态规划组成部分3：初始条件和边界情况

dp[0] = 1;

int maxans = 1; // 最小一次

1.4. 动态规划组成部分4：计算顺序

每个i去匹配前面0~i-1

参考代码

GO语言版

func lengthOfLIS(nums []int) int {
	if len(nums) < 1 {
		return 0
	}
	dp := make([]int, len(nums))
	result := 1
	for i := 0; i < len(nums); i++ {
		dp[i] = 1
		for j := 0; j < i; j++ {
			if nums[j] < nums[i] {
				dp[i] = max(dp[j]+1, dp[i])
			}
		}
		result = max(result, dp[i])
	}
	return result
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}




复制代码

java版

  class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = 1;
        int maxans = 1;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
        }
        return maxans;
    }
}


复制代码

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