Given a labeled training set learn a general mapping which associates previously unseen independent test data with their correct continuous prediction.
回归问题和分类问题很相似，区别在于回归问题的输出是一个连续值。
上图是训练数据 和 对应的连续值的一个实例。训练数据用黑色点表示，数据对应的连续值由它在y轴上的位置体现。这个例子中，输入是一维的：x是自变量，y是因变量。
图中灰色点表示的是一个没有在训练数据中出现的数据，回归任务的目标就是根据训练数据得到自变量和因变量之间的关系。得到这个关系之后，对于没有出现在训练集中的数据，可根据其自变量，估计其因变量的值。
2. 一般步骤
要寻找数据和对应连续值之间的关系，实际就是要找到一个函数，能够将数据映射到连续值上。
回归问题一般通过以下三步解决：
1. Model: function set
选择一个模型。模型实际就是函数的集合，线性回归模型，就是所有线性函数组成的集合
2. Goodness of function
需要有一个评判标准，能够判断函数的好坏
3. Best function
利用上一步中评判标准，在函数集合中找到最好的函数
对于不同的模型，寻找最好的函数的方法，很有可能是不一样的。但是对于同一个问题，判断函数好坏的方法往往是相同的
3. Goodness of function
评价函数好坏的函数称作loss function(损失函数)，一般loss function的值越大，该函数表现得越差
它由loss term(损失项)和regularizerm(正则化项)两项相加构成：
1. loss term反映的是预测值与实际值之间的误差。对于回归问题，常用的loss term是均方误差
2. regularizer反映的是函数的复杂程度，函数越复杂，该项的值越大。
3.1. regularizer
正则化项是为了控制函数的复杂程度，它的思想符合奥卡姆剃刀原理：
在所有可能选择的函数中，能够很好地解释已知数据并且十分简单才是最好的函数
参数向量的范数是一种常用的正则化项：
L1=||w||1=∑i=1n|wi|L2=||w||2=∑i=1n|wi|2−−−−−−−√L1=||w||1=∑i=1n|wi|L2=||w||2=∑i=1n|wi|2
为0时，相当于某个参数没有作用。
4. Model & Best function
4.1. 线性回归模型
线性回归模型，表示的是线性函数的集合，y=wTx+by=wTx+b。其中x和y都是向量。
4.1.1. 最小二乘法
当loss function为均方误差时，用最小二乘法可以直接计算出ww的解析解。
最小二乘法找到的是误差平方和最小的函数：
L=∑i=1N(y^i−(wTxi+b))2L=∑i=1N(y^i−(wTxi+b))2
是样本个数
最小二乘法实际是对ww的值
求偏导等于0有效的原因，主要是因为函数的形式保证了偏导为0时，恰好能够取到最值。
4.1.2. 梯度下降法
当loss function改变了，最小二乘法很可能不再有用。这时，可以采用梯度下降法。梯度下降法是一种迭代式的算法。
梯度下降法的基本思想，就是对loss function求参数的梯度，向梯度下降的方向更新参数：
θt+1=θt−η∇L(θt)θt+1=θt−η∇L(θt)
L是loss function
θθ和梯度相乘体现的是，梯度越大，调整的量也越大。
在整个训练过程中，ηη，一开始较大，后面趋于极值点时逐渐减小。
Adagrad
Adagrad是一种常用的learning rate自动调节方法
wt+1=wt−ηtσtgtwt+1=wt−ηtσtgt
root mean square
实际上t+1−−−−√t+1变化的越快，这一项的值也会越大
Stochastic Gradient Descent随机梯度下降
一般的梯度下降，计算所有样本的loss function后，update参数
SGD：
1. （随机）选择一个样本
2. 计算这个样本的loss function，update参数
更新参数更频繁，有助于加速训练
4.2 多项式回归
多项式回归模型，表示的是多项式函数的集合，例如：
hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x22+θ3x33hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x22+θ3x33
的线性函数，4.1中的方法依然有效
4.3 regression tree回归树
回归树是由决策树发展而来的，决策树一般用于分类问题
决策树的定义：
决策树是以层次的方式组合起来的一组问题的集合，并以树的形式进行表示。
对于一个给定的输入对象，决策树通过依次询问关于它已知特征的问题，来预测它的未知特征。后一个询问的问题，依赖于前一个问题的回答，这种依赖关系表示为树中的路径；对象的未知特征由路径上的终点决定。
上图是一棵判断照片场景的决策树，通过对多个问题的依次判断，最终得到照片所属的场景。
决策树可以认为是一种将复杂问题不断分解为简单问题的思路。在建立决策树的时候，需要考虑的问题是 选择哪一个特征对当前的数据进行划分、如何防止过拟合等。
与决策树的思想类似，回归树的思路是将一个复杂的非线性回归问题，分解成一组更小的能够被简单模型（比如线性模型）解决的问题
上图是一个二叉回归树的实例，从树根向下，数据的熵会不断变小。
与构建决策树类似，构建回归树时需要考虑的问题是，选择哪一个属性对当前的数据进行划分。与决策树不一样的地方在于，需要预测的属性是连续的，因而在叶子节点选择什么样的预测模型也很关键。
4.3.1 CART(Classificaion and Regression Tree)分类回归树算法
CART是一种常用的建立二叉决策树的算法，既可以用于分类也可以用于回归，并且连续和非连续的属性都能够处理
CART算法有两个关键步骤：
1. 递归划分训练样本，进行建树
2. 利用验证集进行剪枝
建树的伪代码如下：
createTree()
找到最佳的待切分特征：
如果该节点不能再分
将该节点存为叶子节点
否则
执行二元切分
左子树调用createTree()
右子树调用createTree()- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
由于CART建出来的是二叉决策树，这减少了切分特征的难度，只需要选择一个切分点，将样本切分成两部分
1. 对于离散型特征
枚举特征取值的不同组合，分别放到树的左枝和右枝。对不同组合产生的树进行评判，找到最佳组合
2. 对于连续型特征
将取值排序，分别取两相邻值的平均值作为分隔值，小于和大于分隔值的分别放在树的左枝和右枝。对不同分隔值产生的树进行评判，找到最佳分隔值
切分的目标是让样本随着树的分支变的越来越纯，使得叶子节点样本的预测比较简单
树的纯度有多种度量方式，CART算法建立回归树时，常使用最小平方残差作为度量：
SS(t)=∑(yi−y¯¯¯(t))SS(t)=∑(yi−y¯(t))
利用这个度量希望达到的效果是，组内方差最小，组间方差最大。即决策树的两枝内部差异小，两枝之间的差异大
剪枝的目的是为了限制树的生长，避免过拟合。剪枝分为预剪枝和后剪枝。
- 预剪枝是通过提前停止树的构造来对树进行剪枝。一般的策略有：树的深度达到用户的要求，样本个数少于用户的设定，纯度的上升幅度小于指定的幅度等
- 后剪枝是先构造完整的决策树，允许发生过拟合。在完整的决策树上，将一些节点剪去
CART中采用了代价复杂度剪枝(Cost-Complexity Pruning, CCP)，这是一种后剪枝
对于决策树T0T0越小
CCP从T0T0，直至决策树仅剩下根
在得到的决策树序列中，用验证集找到效果最好的决策树
除了CART算法之外，决策树生成算法还有ID3，C4.5等等，这些算法用了信息增益、信息增益比等不同指标对树的纯度进行度量
4.4. 神经网络
神经网络一般用来解决分类问题，也可以用来解决回归问题
上图是一个神经网络的示意图。神经网络有一个输入层、一个输出层、0到多个隐藏层。输入层的维度等于样本的特征个数，输出层的维度和具体问题有关，在回归问题中，输出层是一维的，即预测值。隐藏层的层数和维度需要通过经验和不断尝试确定。
每一层中的元素被称作神经元，它有多个输入，一个输出。将输入加权求和，再加上bias，通过一个激活函数，得到一个在0至1之间的值作为输出。实际上，当激活函数是sigmoid函数(σ(z)=11+e−zσ(z)=11+e−z)时，每一个神经元完成的就是一个逻辑斯蒂回归。
神经元之间的连接方式需要用户来指定，上图的神经网络，每一层的神经元都和上一层所有神经元的输出相连，这种神经网络被称作全连接神经网络
不同结构的神经网络，可以看做是不同的模型。结构确定后，神经网络的神经元还有很多参数需要调整，预测效果最佳的参数组合构成的神经网络可以看做是best function。
神经网络结构确定之后，寻找best function的过程，一般采用反向传播算法。
4.4.1. 神经网络用于回归
输入层和隐藏层与一般分类问题的神经网络类似，区别在于回归问题的神经网络的输出层只有一个神经元，并且这个神经元不能使用一般的激活函数。激活函数会使得输出限制在0和1之间。所以输出层的神经元直接去掉激活函数，只是将输入相加
回归问题的loss function，一般使用mse
5. 误差分析
在确定了一个模型，找到best function之后，预测的误差可能还是不能让人满意。接下来需要对误差进行分析，改进模型
不同模型在同样的数据集上会有不一样的表现，分析当前预测的误差，有助于发现模型的改进方法
对于同一个模型，随机选择一些训练数据，能够找到模型的best function；多次随机选择不同的训练数据，就会找到不同的best function。上图中每一个蓝点是以这种方式找到的best function，蓝点与红色靶心偏差越大，体现的是best function的预测误差越大。
最佳情况下，同一个模型按不同数据集找到的best function都聚集在靶心上
如果这些best funxtion比较分散，但best function的中心在靶心上，这反应了模型表达能力很强，但是表现的不稳定，不同数据集得到的best function差异比较大。这种误差来源，称作variance
如果这些best function很集中，但best function的中心离靶心很远，这反应了模型表现很稳定，但是不同数据集得到的best function表现都很差。极端情况下，模型每次都返回相同的值，则所有的best function都在靶上同样的位置。这反应了模型的能力不够，这种误差来源称作bias
模型越复杂，表达能力就越强，一般bias越小，variance越大。目标是找到一个模型，它的bias和variance的和比较小，即总的误差比较小
- 欠拟合underfitting: large bias low variance，
增加特征；设计更复杂的模型 - 过拟合overfitting: low bias large variance，
增加数据，eg.图片旋转；正则化，使模型更平滑
通过判断当前是过拟合还是欠拟合，有助于对模型或者数据进行相应的调整，从而使总的预测误差减小
6. Ensemble
Ensemble是将多个模型或者一个模型的不同数据集上的best function集合起来，得到一个效果更好的模型的方法。这多个模型之间应该各不相同，有各自擅长的方面
6.1. Bagging
对于一个复杂模型，其variance很大，bias很小
Bagging的基本思想是，划分数据集，不同数据集上利用同一个复杂模型找到多个best function。将这几个best function的预测值求平均，往往会比一个best function的误差更小。
当模型很复杂，容易过拟合时，可以用bagging 降低variance。eg.决策树
6.1.1. Random Forest
随机森林是决策树做了bagging的版本
决策树是很容易过拟合的，在训练集上甚至能做到0%的误差，只要将每一个样本分在决策树不同的叶子节点上
对于决策树而言，简单的划分数据集构造不同的决策树还是不够的。随机森林，随机限制了每个决策树建树时允许使用的特征，从而保证生成的决策树都是不一样的。再将多个决策树的预测结果整合起来，作为随机森林的预测值。
6.2. Boosting
Boosting适用于将多个较差的模型，集合为一个较好的模型
Boosting的思路是，先找到第一个函数f1(x)f1(x)…，最后将所有的函数集合起来。
Boosting中可以给每个样本一个权重，样本设置不同权重，得到不同的数据集。
对于f1(x)f1(x)，有很多种方法
6.2.1 Adaboost
Adaboost是一种boosting方法，其思路是调整样本的权重，构造一个f1(x)f1(x)
设样本的权重为u
如果f1分类正确，u = u / d （减小）
如果f1分类错误，u = u * d （增大）- 1
- 2
f2在权重调整后的数据集上得到
Adaboost根据不同函数的错误率将他们整合起来：
H(
