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一、鸽巢原理简单形式示例 4
假设有 3 3 3 个 7 7 7 位二进制数 ,
A : a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 A : a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7 A:a1a2a3a4a5a6a7
B : b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 B : b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7 B:b1b2b3b4b5b6b7
C : c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 C : c_1c_2c_3c_4c_5c_6c_7 C:c1c2c3c4c5c6c7
证明存在整数 i i i 和 j j j , 1 ≤ i ≤ j ≤ 7 1\leq i \leq j \leq 7 1≤i≤j≤7 , 使得下列之一一定成立 :
a i = a j = b i = b j a_i = a_j = b_i = b_j ai=aj=bi=bj
a i = a j = c i = c j a_i = a_j = c_i = c_j ai=aj=ci=cj
b i = b j = c i = c j b_i = b_j = c_i = c_j bi=bj=ci=cj
证明 :
二进制数 , 取值只能是 0 0 0 或 1 1 1 ;
使用表格图形表示 A B C ABC ABC 三个二进制数的 7 7 7 位 : 使用二进制数 0 , 1 0,1 0,1 填写这些位 ;
上图中 :
- 第 1 1 1 行是 二进制数字 A A A 的 7 7 7 位 ;
- 第 2 2 2 行是 二进制数字 B B B 的 7 7 7 位 ;
- 第
3
3
3 行是 二进制数字
C
C
C 的
7
7
7 位 ;
使用二进制数 0 , 1 0,1 0,1 填写表格中的这些位 ;
总结出以下模式 : 以列为单位 , 总结出一定的模式 , 下面的模式中每一列的第 1 ∼ 3 1 \sim 3 1∼3 行取值为某数 ;
①
1
−
2
−
0
1-2-0
1−2−0 : 某列 第
1
1
1 行 , 第
2
2
2 行 , 取值为
0
0
0 , 第
3
3
3 行取值随意 ;
②
1
−
2
−
1
1-2-1
1−2−1 : 某列 第
1
1
1 行 , 第
2
2
2 行 , 取值为
1
1
1 , 第
3
3
3 行取值随意 ;
③
1
−
3
−
0
1-3-0
1−3−0 : 某列 第
1
1
1 行 , 第
3
3
3 行 , 取值为
0
0
0 , 第
2
2
2 行取值随意 ;
④
1
−
3
−
1
1-3-1
1−3−1 : 某列 第
1
1
1 行 , 第
3
3
3 行 , 取值为
1
1
1 , 第
2
2
2 行取值随意 ;
⑤
2
−
3
−
0
2-3-0
2−3−0 : 某列 第
2
2
2 行 , 第
3
3
3 行 , 取值为
0
0
0 , 第
1
1
1 行取值随意 ;
⑥ 2 − 3 − 1 2-3-1 2−3−1 : 某列 第 2 2 2 行 , 第 3 3 3 行 , 取值为 1 1 1 , 第 1 1 1 行取值随意 ;
有以上 6 6 6 种可能的模式 , 但是二进制数有 7 7 7 位 ;
可以等价理解为鸽巢原理的 : 将 7 7 7 个物体放到 6 6 6 个盒子中 , 则 至少有一个盒子中有 2 2 2 个 或 2 2 2 个以上的物体 ;
因此至少有 2 2 2 列或 2 2 2 列以上的模式相同 ;
模式相同的两列中 , 还有四角数字相同的矩形 , 四角方格数字满足相同的要求 ;
因此 , 必定存在整数 i i i 和 j j j , 1 ≤ i ≤ j ≤ 7 1\leq i \leq j \leq 7 1≤i≤j≤7 , 使得下列之一一定成立 :
a i = a j = b i = b j a_i = a_j = b_i = b_j ai=aj=bi=bj
a i = a j = c i = c j a_i = a_j = c_i = c_j ai=aj=ci=cj
b i = b j = c i = c j b_i = b_j = c_i = c_j bi=bj=ci=cj
二、鸽巢原理简单形式示例 5
证明 : 1 1 1 到 2 n 2n 2n 的正整数中 , 任取 n + 1 n + 1 n+1 个数 , 至少有一对数 , 其中一个数是另外一个数的倍数 ;
使用如下形式表示 1 1 1 到 2 n 2n 2n 的正整数 ;
上述数字每个数字 , 除以 2 α i 2^{\alpha_i} 2αi , 会得到一个奇数 r i r_i ri ;
使用 a i = 2 α i r i a_i = 2^{\alpha_i}r_i ai=2αiri , i = 1 , 2 , ⋯ , n + 1 i = 1, 2, \cdots , n+1 i=1,2,⋯,n+1 形式表示上述 1 1 1 到 2 n 2n 2n 的正整数 ;
1 1 1 到 2 n 2n 2n 的正整数表示说明 : ( 仅做参考 )
- 表示奇数 : 奇数 r i r_i ri 就等于表示的正整数值 , 2 α i = 1 2^{\alpha_i} = 1 2αi=1 , 即 α i = 0 \alpha_i = 0 αi=0 ;
- 表示偶数 : 如果是偶数 , 至少能除以一个
2
2
2 ,
2
α
i
≥
2
2^{\alpha_i} \geq 2
2αi≥2 , 即
α
i
≥
1
\alpha_i \geq 1
αi≥1 ;
1 1 1 到 2 n 2n 2n 的正整数 中 , 有 n n n 个奇数 , 是 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ⋯ , 2 n − 1 1, 3, 5, 7, 9, \cdots , 2n - 1 1,3,5,7,9,⋯,2n−1 ;
每个数 a i = 2 α i r i a_i = 2^{\alpha_i}r_i ai=2αiri 右侧的 r i r_i ri 奇数 取值只有 n n n 种 , 偶数部分的右侧的 r i r_i ri 奇数也包含在其中 ;
现在要从 1 1 1 到 2 n 2n 2n 的正整数 中 取 n + 1 n+1 n+1 个数 , 如果其中有奇数 , 肯定只有 n n n 种取值 ;
将取值看做盒子 , 每个数的右边的 r i r_i ri 看做物体 , 奇数的个数是 n + 1 n + 1 n+1 个 , 但是奇数的个数只有 n n n 种取值 , 因此有两个数字的 奇数部分 r i r_i ri 是相等 ;
假设这两个数分别是第 i i i 个数 , 和第 j j j 个数 : r i = r j r_i = r_j ri=rj , 并且 i < j i < j i<j ;
- 第 i i i 个数 : a i = 2 α i r i a_i = 2^{\alpha_i}r_i ai=2αiri , i = 1 , 2 , ⋯ , n + 1 i = 1, 2, \cdots , n+1 i=1,2,⋯,n+1
- 第
j
j
j 个数 :
a
j
=
2
α
j
r
j
a_j = 2^{\alpha_j}r_j
aj=2αjrj ,
j
=
1
,
2
,
⋯
,
n
+
1
j = 1, 2, \cdots , n+1
j=1,2,⋯,n+1
如果 r i = r j r_i = r_j ri=rj , 那么 2 α j 2^{\alpha_j} 2αj 肯定是 2 α i 2^{\alpha_i} 2αi 的倍数 ;
