文章目录
- 一、鸽巢原理简单形式
- 二、鸽巢原理简单形式示例 1
- 三、鸽巢原理简单形式示例 2
- 四、鸽巢原理简单形式示例 3
一、鸽巢原理简单形式
鸽巢原理 :
将 n + 1 n + 1 n+1 个物体 放到 n n n 个盒子 中 , 则
一定存在一个盒子 中 至少 含有 2 2 2 个 或 2 2 2 个以上的物体 ;
鸽巢原理 实际上是 多对少的配置 ; 至少存在一个多对一的情况 ;
二、鸽巢原理简单形式示例 1
证明 : 在边长为 2 2 2 的正三角形中 , 有 5 5 5 个点 , 一定存在两个点的距离小于 1 1 1 ;
将变成为 2 2 2 的正三角形 , 分为 4 4 4 个小的正三角形 , 每个边长为 1 1 1 ; 如下图 :
在 4 4 4 个小正方形中 , 绘制 5 5 5 个点 ;
根据鸽巢原理 , 上述问题可以转为 将 5 5 5 个物体放入 4 4 4 个盒子中 , 至少有一个盒子中有 2 2 2 个 或 2 2 2 个以上的物体 ;
在一个正三角形格子中 , 如果绘制了两个点 , 其距离肯定小于 1 1 1 ;
三、鸽巢原理简单形式示例 2
证明 : 9 × 3 9\times3 9×3 的方格 , 使用黑色 , 白色 两种颜色进行涂色 , 必定存在两列相同的涂色方案 ;
先将可能的涂色方案枚举出来 : 一共只可能存在 2 3 = 8 2^3 = 8 23=8 种可能的涂色方案 ;
在 9 9 9 列方格中 , 使用 8 8 8 种模式进行涂色 ;
可以等价理解为鸽巢原理的 : 将 9 9 9 个物体放到 8 8 8 个盒子中 , 则 至少有一个盒子中有 2 2 2 个 或 2 2 2 个以上的物体 ;
因此至少有 2 2 2 列或 2 2 2 列以上的格子会被涂成一种颜色 ;
四、鸽巢原理简单形式示例 3
证明 : 空间中有 9 9 9 个格点 , 所有的两点连线的中点 , 有一个格点 ;
格点指的是整数点 ;
此时这两个空间坐标的连线中点就是 格点 , 即整数点 ;
下面分析三个坐标分别奇偶性相同时 , 中点是格点的原因 :
当奇偶性相同的时候 , 连线中点的空间坐标的三个数都是整数 ;
