直方图均衡化

直方图均衡化

数学原理

考虑连续灰度值，并用变量$r$表示待处理图像的灰度。通常，我们假设$r$的取值区间为$[0,L一1]$，且$r=0$表示黑色，$r=L-1$表示白色。

设$s$所对应输出的灰度值为$s$。即
$s=T(r)$
灰度$r$经过一系列映射成灰度$s$。

设$T(x)$满足一下条件

1. $T(x)$为在区间$[0,L一1]$上的单调递增函数
2. $T(x)$的取值区间为$[0,L一1]$

则存在
$r=T^{-1}(s)$
其中条件1时为了保证s到r与r到s为单值映射，只会出现一对一的情况。

把一副图像所对应的灰度值视为一个随机变量，则可以把$p_r(r)$与$p_s(s)$视为灰度值为r与s的概率密度曲线。

因为$T(x)$是单调递增的，所以$s$与$r$的分布情况是一样的，于是存在
$F_s(s)=F_r(r)$
其中$F_s(s)$与$F_r(r)$分别为$s$与$r$的概率分布函数

对于上式等号两边分布求导，于是存在
$P_s(s)=P_r(r)|\frac{dr}{ds}|$
于是$s$的概率密度函数由$r$的概率密度函数与映射函数所决定

对于$s$有
$s=T(r)=(L-1)\int_0^{r}P_r(x)dx$
即可完成$r$在$[0,L-1]$区间上的映射，且保证与$r$的分布一致。

注：对于离散型随机变量$\int_0^{r}P_r(x)dx=\sum_{x<=x_r}P_r(x)$

其中
$\frac{ds}{dr}=\frac{dT(r)}{dr}=(L-1)P_r(r)$
于是
$P_s(s)=P_r(r)|\frac{dr}{ds}|=\frac{1}{(L-1)}$
所以$P_s(s)$为在$[0,L-1]$区间上的均匀概率密度函数

图1

图二

即完成上图1到图2的映射

步骤总结：

1. 统计原图中相同灰度值出现的次数
2. 计算灰度值的概率分布CDF
3. 将相应的灰度值完成映射操作CDF*（L-1）并取整

代码示例

# 直方图均衡化
def HistogramEQ(src_img):
    h, w = src_img.shape
    # 统计灰度值的个数
    src_hist, bins = np.histogram(src_img.flatten(), bins=256, range=(0, 256))
    # 计算概率分布函数，并对其进行归一化操作
    src_cdf = src_hist.cumsum()
    src_cdf_normal = (src_cdf - src_cdf.min()) / (src_cdf.max() - src_cdf.min()) * 255
    src_cdf_normal = [round(i) for i in src_cdf_normal]
    # 计算输出图像各位置所对应对灰度值
    hist_eq_img = np.zeros_like(src_img)
    for i in range(h):
        for j in range(w):
            hist_eq_img[i][j] = src_cdf_normal[src_img[i][j]]

    return hist_eq_img