1、向量的加法 

  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 
  AB+BC=AC。 
  a+b=(x+x'，y+y')。 
  a+0=0+a=a。 
  向量加法的运算律： 
  交换律：a+b=b+a； 
  结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 
   
2、向量的减法 

  如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 
  AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” 
  a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 
   
4、数乘向量 

  实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。 
  当λ＞0时，λa与a同方向； 
  当λ＜0时，λa与a反方向； 
  当λ=0时，λa=0，方向任意。 
  当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 
  注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 
  实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 
  当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 
  当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 
  数与向量的乘法满足下面的运算律 
  结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。 
  向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 
  数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 
  数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 
   
3、向量的的数量积 

  定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 
  定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。 
  向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。 
  向量的数量积的运算律 
  a•b=b•a（交换律）； 
  (λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)； 
  （a+b)•c=a•c+b•c（分配律）； 
  向量的数量积的性质 
  a•a=|a|的平方。 
  a⊥b 〈=〉a•b=0。 
  |a•b|≤|a|•|b|。 
  向量的数量积与实数运算的主要不同点 
  1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。 
  2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。 
  3、|a•b|≠|a|•|b| 
  4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 
   
4、向量的向量积（叉积） 

  定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 

 向量的向量积的坐标表示：a•b=XaYb-YaXb
向量的向量积性质： 
  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。 
  a平行b〈=〉a×b=0。 
  向量的向量积运算律 
  a×b=-b×a； 
  （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； 
  （a+b）×c=a×c+b×c. 
  注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 
   
向量的三角形不等式 

  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； 
  ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号； 
  ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 
  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 
  ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号； 
  ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。 
   
定比分点 

 
 
  
  在
  
  直角坐标系内,已知两点A(x1,y1),B(x2,y2);在两点连线上有一点P,设它的坐标为(x,y),且向量AP比向量PB的比值为λ,那么我们说P分有向线段AB的比为λ
 
 
 
 
  
  且P的坐标为
 
 
 
 
  
  x=(x1 + λ · x2) / (1 + λ)
 
 
 
 
  
  y=(y1 + λ · y2) / (1 + λ)
 
 
  定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2） 
  设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 
  若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 
  OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式） 
  x=(x1+λx2)/(1+λ), 
  y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式） 
  我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 
  三点共线定理 
  若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 
  三角形重心判断式 
  在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 
[编辑本段]向量共线的重要条件 
  若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 
  a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。 
  零向量0平行于任何向量。 
[编辑本段]向量垂直的充要条件 
  a⊥b的充要条件是 a•b=0。 
  a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。 
  零向量0垂直于任何向量.