python向量相加 python向量加法

向量

行向量

import numpy as np
a = np.array([1,2,3,4])
print(type(a))
print(a)

<class 'numpy.ndarray'>
[1 2 3 4]

列向量

列向量 相当于一个 $n\times1$

import numpy as np
a = np.array([[1,2,3,4]])
print(type(a))
print(a)
print(a.shape)
print(type(a.T))
print(a.T)
print(a.T.shape)

<class 'numpy.ndarray'>
[[1 2 3 4]]
(1, 4)
<class 'numpy.ndarray'>
[[1]
 [2]
 [3]
 [4]]
(4, 1)

向量的加法

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \\ 10 \end{bmatrix}$

import numpy as np
u = np.array([[1,2,3]]).T
v = np.array([[5,6,7]]).T
print(u+v)

[[ 6]
 [ 8]
 [10]]

向量的数量乘法

$3 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}$

import numpy as np
u = np.array([[1,2,3]]).T
print(3*u)

[[3]
 [6]
 [9]]

向量间的乘法

向量的内积(点乘) np.dot()

参与内积运算的两个向量必须维数相等
运算规则：先将对应位置上的元素相乘，然后合并相加
向量内积的最终运算结果是一个标量

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \end{pmatrix} = 3\times1 + 5\times4 + 2\times7 = 37$

import numpy as np
u = np.array([3,5,2])
v = np.array([1,4,7])
print(np.dot(u,v))

37

向量的外积(叉乘) np.cross()

二维向量的外积

表示两个向量张成的平行四边形的"面积",如果两个向量的夹角大于 $180^\circ$, 则向量外积的运算结果为负

$\begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix} = 7$

import numpy as np
u = np.array([3,5])
v = np.array([1,4])
print(np.cross(u,v))
print(type(np.cross(u,v)))
print(np.cross(u,v).shape)

7
<class 'numpy.ndarray'>
()

三维向量的外积

表示两个向量张成的平面的法向量，所得结果是向量

$\begin{pmatrix} 3 & 3 & 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 4 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -27 & 9 \end{pmatrix}$

import numpy as np
u = np.array([3,3,9])
v = np.array([1,4,12])
print(np.cross(u,v))
print(type(np.cross(u,v)))
print(np.cross(u,v).shape)

[  0 -27   9]
<class 'numpy.ndarray'>
(3,)

向量的线性组合：先数乘后叠加

$3 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + 4\times \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} + 5\times \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 54 \\ 66 \\ 78 \end{bmatrix}$

import numpy as np
u = np.array([[1,2,3]]).T
v = np.array([[4,5,6]]).T
w = np.array([[7,8,9]]).T
print(3*u+4*v+5*w)

[[54]
 [66]
 [78]]