数论-欧拉函数 学习笔记

一、欧拉函数

1.欧拉函数的定义

欧拉函数（Euler’s totient function），即 $\varphi(n)$，表示的是小于等于 $n$ 和 $n$

比如说 $\varphi(1) = 1$。

当 n 是质数的时候，显然有 $\varphi(n) = n - 1$。

2.欧拉函数的一些性质

• 欧拉函数是积性函数。
  积性是什么意思呢？如果有$\gcd(a, b) = 1$，那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$。
  特别地，当$n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(n)$。
• $n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}$。
  利用​​莫比乌斯反演​​ 相关知识可以得出。
  也可以这样考虑：如果$\gcd(k, n) = d$，那么 $\gcd(\dfrac{k}{d},\dfrac{n}{d}) = 1, （ k < n ）$。
  如果我们设$f(x)$ 表示 $\gcd(k, n) = x$ 的数的个数，那么 $n = \sum_{i = 1}^n{f(i)}$。
  根据上面的证明，我们发现，$f(x) = \varphi(\dfrac{n}{x})$，从而 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(\dfrac{n}{d})$。注意到约数 $d$ 和 $\dfrac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(d)$。
• 若$n = p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$。
  （根据定义可知）
• 由唯一分解定理，设$n = \prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}$，其中 $p_i$ 是质数，有 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$。
  证明：

• 引理：设$p$ 为任意质数，那么 $\varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1)$。
  证明：显然对于从 1 到$p^k$ 的所有数中，除了 $p^{k-1}$ 个 $p$ 的倍数以外其它数都与 $p^k$ 互素，故 $\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times(p-1)$，证毕。

接下来我们证明 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$。由唯一分解定理与 $\varphi(x)$

$\begin{aligned} \varphi(n) &= \prod_{i=1}^{s} \varphi(p_i^{k_i}) \\ &= \prod_{i=1}^{s} (p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}\\ &=\prod_{i=1}^{s} {p_i}^{k_i} \times(1 - \frac{1}{p_i})\\ &=n~ \prod_{i=1}^{s} (1- \frac{1}{p_i}) &\square \end{aligned}$

3.如何求欧拉函数值

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。这个过程可以用 ​​Pollard Rho​​ 算法优化。

int euler_phi(int n) {
    int m = int(sqrt(n + 0.5));
    int ans = n;
    for (int i = 2; i <= m; i++)
      if (n % i == 0) {
        ans = ans / i * (i - 1);
        while (n % i == 0) n /= i;
      }  
    if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}

注：如果将上面的程序改成如下形式，会提升一点效率：

int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

二、欧拉定理、扩展欧拉定理 及其应用

1.欧拉定理

若 $\gcd(a, m) = 1$，则 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$。

在实际的算法竞赛应用中，欧拉定理的应用更为频繁。

证明

构造一个与 $m$，再进行操作。

设 $r_1, r_2, \cdots, r_{\varphi(m)}$ 为模 $m$ 意义下的一个简化剩余系，则 $ar_1, ar_2, \cdots, ar_{\varphi(m)}$ 也为模 $m$ 意义下的一个简化剩余系。所以 $r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \equiv ar_1 \cdot ar_2 \cdots ar_{\varphi(m)} \equiv a^{\varphi(m)}r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \pmod{m}$，可约去 $r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)}$，即得 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$。

当 $m$ 为素数时，由于 $\varphi(m) = m - 1$，代入欧拉定理可立即得到费马小定理。

2.扩展欧拉定理

当然也有扩展欧拉定理

$a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p) \end{cases} \pmod p$

证明略，有兴趣请参照： synapse7

3.欧拉降幂

由广义欧拉定理可知：
$a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p) \end{cases} \pmod p$
第2、3个公式表述的即为广义欧拉降幂，不要求$a$与$p$互质，但要求$b$ 与$\varphi(p)$具有相应的大小关系。

我们不难发现，欧拉降幂的应用是十分模板化的，在这个降幂过程中的主要操作还是求欧拉函数的值。

​​例题：​​​求$A^B \mod\ C$，其中$B = 10^{1000000}$

#include <bits/stdc++.h>
#define
#define
using namespace std;
char a[1000006];
ll x, z;
ll quickpow(ll x, ll y, ll z){
    ll ans = 1;
    while (y){
        if (y & 1) ans = ans * x % z;
        x = x * x % z;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll n){
    ll i, rea = n;
    for (i = 2; i * i <= n; i++){
        if (n % i == 0){
            rea = rea - rea / i;
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) rea = rea - rea / n;
    return rea;
}
int main(){
    while (scanf("%lld %s %lld", &x, a, &z) != EOF){
        ll len = strlen(a);
        ll p = phi(z);
        ll ans = 0;
        for (ll i = 0; i < len; i++) ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % p;
        ans += p;
        printf("%lld\n", quickpow(x, ans, z));
    }
    return 0;
}

4.优化

可以使用线性筛优化。这部分内容单独开一篇博客。