数论 - 欧拉函数【 普通求法 + 筛法求欧拉函数 】

欧拉函数

1.定义

对于正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中(即1-n中)与n互质的数的数目，记作φ(n)
其中φ(1)=1。

2求n的欧拉值

3.结论

4.代码模板：

int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);

    return res;
}

5.筛法求欧拉函数

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
int euler[N];           // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉


void get_eulers(int n)
{
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

质数i的欧拉函数即为euler[i] = i - 1 因为1到i−1均与i互质，共i−1个。
euler[primes[j] * i]分为两种情况：
① i % primes[j] == 0时：primes[j]是i的最小质因子，也是primes[j] * i的最小质因子，因此1 - 1 / primes[j]这一项在euler[i]中计算过了，只需将基数N修正为primes[j]倍，最终结果为euler[i] * primes[j]。
② i % primes[j] != 0：primes[j]不是i的质因子，只是primes[j] * i的最小质因子，因此不仅需要将基数N修正为primes[j]倍，还需要补上1 - 1 / primes[j]这一项，因此最终结果euler[i] * (primes[j] - 1)。

6.题目练习

(1)AcWing -873. 欧拉函数

给定n个正整数ai，请你求出每个数的欧拉函数。
欧拉函数的定义

输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个正整数ai。
输出格式
输出共n行，每行输出一个正整数ai的欧拉函数。
数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
2
2
4
代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  while (n--)
  {
    int a;
    cin >> a;
    int ans = a;
    for (int i = 2; i <= a / i; i++)
    {
      if (a%i == 0)
      {
        ans = ans / i * (i - 1); //避免越界
        while (a%i == 0)
        {
          a /= i;
        }
      }
    }
    if (a > 1) ans = ans / a * (a - 1);
    cout << ans << endl;
  }
  return 0;
}

(2)AcWing- 874. 筛法求欧拉函数

给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和。
输入格式
共一行，包含一个整数n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中每个数的欧拉函数之和。
数据范围
1≤n≤106
输入样例：
6
输出样例：
12
代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt;
int euler[N];
bool st[N];
void get_eulers(int n)
{
  euler[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
  {
    if (!st[i])
    {
      primes[cnt++] = i;
      euler[i] = i - 1;
    }
    for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
    {
      st[i*primes[j]] = 1;
      if (i%primes[j] == 0)
      {
        euler[i*primes[j]] = euler[i] * primes[j];
        break;
      }
      euler[i*primes[j]] = euler[i] * (primes[j] - 1);
    }
  }
}
int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  get_eulers(n);
  ll ans = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
  {
    ans += euler[i];
  }
  cout << ans << endl;
  return 0;
}