欧拉定理 和 欧拉函数

若2个数a,b， GCD(a,b) == 1 ,那么 a^φ(b) ≡ 1 (mod b)

欧拉函数性质

(1) p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ§=p-p^{(k-1)=p-1。若N是质数p的k次幂(即N=p}k)，φ(n)=p^k-p(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型欧拉函数设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。

附上欧拉函数代码：

import java.util.Scanner;

public class 欧拉函数 {
  static int n;
  public static void main(String[] args) {
    Scanner sc = new Scanner(System.in);
    n = sc.nextInt();
    System.out.println(euler_one());
  }
  //求单个欧拉函数的值
  static int euler_one() {
    int ans = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
      if (n % i == 0) {
        ans = ans / i * (i - 1);
      }
      while (n % i == 0) {
        n /= i;
      }
    }
    //表明  i * i <= n的数已经不满足了 
    if (n > 1) {
      ans = ans / n * (n - 1);
    }
    return ans;
  }
  //求 【1，n】这个区间的欧拉函数
  static int[] phi = new int[10000];
  static void euler_interval() {
    //初始化 所有数的欧拉值等于自身
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      phi[i] = i;
    }
    //进行筛选
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
      if (phi[i] == i) {  //将这个数的倍数  都 乘以 (1 - 1/pi)
        for (int j = i; j <= n; j += i) {
          phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
        }
      }
    }
  }
}