欧拉函数(Euler' totient function )
Author: Jasper Yang
School: Bupt
前言
gamma函数的求导会出现所谓的欧拉函数(phi)，在一篇论文中我需要对好几个欧拉函数求值，结果不能理解，立即去google，发现了一个开源的python库可以用来计算欧拉函数
class eulerlib.numtheory.Divisors(maxnum=1000)
Implements methods related to prime factors and divisors.
Parameters: maxnum – Upper limit for the list of primes. (default = 1000)
divisors(num)
Returns a list of ALL divisors of num (including 1 and num).
Parameters: num – An integer for which divisors are needed.
Returns: A list [d1,d2,...dn] of divisors of num
phi(num)
Returns the number of totatives of num
Parameters: num – Integer for which number of totatives are needed.
Returns: Number of totatives of num
Note A totative of an integer num is any integer i such that, 0 < i < n and GCD(i,num) == 1.
Uses Euler’s totient function.
这个函数到这里并不能看懂用法和意义，下面我通过介绍两个概念来让大家慢慢理解这个过程。
Totative(不知道怎么翻译)
from wiki
在数论中，一个给定的n的totative是一个符合大于0并且小于等于n的k,并且这个k和n是互质数(什么是互质数呢)。
互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
欧拉方程 $$ \phi(x) $$ 就是在计算n的totative个数。
在n的乘法模下的totatives形成了模n乘法群( Multiplicative group of integers modulo n )。 --->后面这句涉及的群的知识我去维基上了解下后没看懂，放弃了，未来有机会看看中文资料理解一下再添加进来吧。 wiki传送门
Euler's totient function
这个就是主角欧拉函数。
from wiki
在数论中，对正整数n，欧拉函数 $$ \varphi (n) $$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数(由高斯所命名)或是欧拉总计函数[1](totient function，由西尔维斯特所命名)。
例如 $$ \varphi (8)=4 $$，因为1,3,5,7均和8互质。
欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群(即环 $$ {\mathbb {Z}}/n{\mathbb {Z}} $$ 的所有单位元组成的乘法群)的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。
若n是质数p的k次幂， $$ \varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{{k-1}}=(p-1)p^{{k-1}} $$ ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
若 $$ n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}} $$
则 $$ \varphi (n)=\prod _{{i=1}}^{r}p_{i}^{{k_{i}-1}}(p_{i}-1)=\prod _{{p\mid n}}p^{{\alpha _{p}-1}}(p-1)=n\prod _{{p|n}}\left(1-{\frac {1}{p}}\right) $$
其中 $$ \alpha _{p} $$ 是使得 $$ p^{{\alpha }} $$ 整除n的最大整数 $ alpha $(这里 $$ \alpha _{p_{i}}=k_{i} $$ )。
例如 $$ \varphi (72)=\varphi (2^{3}\times 3^{2})=2^{{3-1}}(2-1)\times 3^{{2-1}}(3-1)=2^{2}\times 1\times 3\times 2=24 $$
我的理解
为什么会有两个法则，一个是基本的计算而另一个是连乘，其实就是因为认为所有的数都可以拆解成两个素数的k次幂的形式。
我需要的知识以上就足够了，如果需要更多的理解，看下面的链接
Eulerlib
这是个开源的python语言的实现库
我们主要使用里面的
eulerlib.numtheory.Divisors(maxnum=1000)下的
phi函数
使用过程，
e = eulerlib.numtheory.Divisors(10000) # 这里的10000是最大值，默认是1000
e.phi(100) # 求phi(100)
使用十分简单。
这个函数的实现源码如下： 源码传送门
def phi(self,num):
"""Returns the number of `totatives
`_ of *num*
:param num: Integer for which number of totatives are needed.
:returns: Number of totatives of *num*
.. note::
A totative of an integer *num* is any integer *i* such that,
0 < i < n and *GCD(i,num) == 1*.
Uses `Euler's totient function
`_.
"""
if(num < 1):
return 0
if(num == 1):
return 1
if(num in self.primes_table): # 这个素数的table一开始就有了，从别的包导来的，去看定义就是maxnum以内的所有素数
return num-1
pfs = self.prime_factors_only(num) # 这个步骤就是找出p了
prod = num
for pfi in pfs:
prod = prod*(pfi-1)/pfi
return prod
def prime_factors_only(self,num):
"""Returns the `prime factors
`_ *pf* :sub:`i` of *num*.
:param num: An integer for which prime factors are needed
:returns: A list [pf1,pf2,...pfi] of prime factors of *num*
"""
if num in self.pfactonly_table:
return self.pfactonly_table[num]
elif ((num < 2) or (num > self.limit)):
return []
elif num in self.primes_table:
self.pfactonly_table[num] = [num]
return [num]
else:
result = []
tnum = num
for prime in self.primes_table:
if(tnum%prime==0):
result.append(prime)
pdiv = prime*prime
while(tnum%pdiv == 0):
pdiv *= prime
pdiv //= prime # 这个//= 和 /=似乎没有区别
tnum //= pdiv
if(tnum in self.primes_table):
result.append(tnum)
break
elif(tnum == 1):
break
self.pfactonly_table[num] = result
return result
源码看起来也十分的简洁易懂，就是为了找出p1和p2然后就可以分别求phi值再相乘了。