题目:
共n个物体,第i个重量为w[i],价值v[i],背包最多能背不超过W的物体,求最大的价值
分析:
每个物体只有一个,在容量允许时(W>w[i]),则对于每个物体只有取、不取两种选择
状态:dp[i][j]:前i个物体,在容量为j的时候,最大的价值
状态转移:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
二维核心:
for(i = 1; i<=n; i++) { for(j = 0; j<=W; j++) { if(j<w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j]; else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]); } }
二维代码:
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> #include <string> #include <math.h> #include <algorithm> #include <queue> #include <stack> #include <map> #include <vector> using namespace std; int w[100], v[100]; int dp[100][100]; int main() { freopen("a.txt", "r", stdin); int n, W, i, j; while(~scanf("%d%d", &W, &n)) { memset(dp, 0, sizeof(dp)); for(i = 1; i<=n; i++) { scanf("%d%d", &w[i], &v[i]); } for(i = 1; i<=n; i++) { for(j = 0; j<=W; j++) { if(j<w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j]; else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]); } } printf("%d\n", dp[n][W]); } return 0; }
降维:
减行,第i个物体的更新,只依赖于第i-1个的物体的结果
所以可以用滚动数组,每次只存i和i-1时候的值 (可得:dp[n][W] → dp[2][W] )
删行,第i个物体在容积为j状态的更新,只依赖i-1物体容量里j-w[i]的状态的结果
所以,从后面开始向前更新,则求j位置时候,j-w[i]的值依旧为i-1时候的值(可得:dp[n][W] → dp[W] )
一维核心:
for(i = 1; i<=n; i++) { for(j = W; j>=w[i]; j--) //从后向前,此时dp[j-w[i]]相当于dp[i-1][j-w[i]] { dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]); } }
一维代码:
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> #include <string> #include <math.h> #include <algorithm> #include <queue> #include <stack> #include <map> #include <vector> using namespace std; int w[100], v[100]; int dp[100]; int main() { freopen("a.txt", "r", stdin); int n, W, i, j; while(~scanf("%d%d", &W, &n)) { memset(dp, 0, sizeof(dp)); for(i = 1; i<=n; i++) { scanf("%d%d", &w[i], &v[i]); } for(i = 1; i<=n; i++) { for(j = W; j>=w[i]; j--) { dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]); } } printf("%d\n", dp[W]); } return 0; }
初始化:
1、memset(dp, 0, sizeof(dp))
求不超过容积的W的最大价值
容积有剩余的状态依旧有值,为前一个恰好装满最优解的值
2、memset(dp, -0x3f, sizeof(dp)); //负无穷、不可达点(当前值约为:-1e+10)
求恰好装满容积的最大价值(可能无解)
当且仅当恰好装满的状态有值,其他存在空白容积的状态无法到达
常数级优化:
一维中的内循环下限,由j>=w[i] → j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}
1、下限为j>=w[i]时候
在所有剩余容积大于等于w[i]时候,选择取、不取第i物品
2、下限为j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}时候
只更新在i+1时候需要用到的状态,并不把所以可能状态求出
常数级优化代码:
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> #include <string> #include <math.h> #include <algorithm> #include <queue> #include <stack> #include <map> #include <vector> using namespace std; int w[100], v[100]; int dp[100]; int main() { freopen("a.txt", "r", stdin); int n, W, i, j; while(~scanf("%d%d", &W, &n)) { memset(dp, 0, sizeof(dp)); for(i = 1; i<=n; i++) { scanf("%d%d", &w[i], &v[i]); } int lower, sum = 0; for(i = 1; i<=n; i++) { if(i!=1) sum += w[i-1]; lower = max(sum, w[i]); for(j = W; j>=lower; j--) { dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]); } } printf("%d\n", dp[W]); } return 0; }