题目:
长度为n的序列a1, a2, ..., an,选出满足 j < i 时, a[j] < a[i] 最长子序列
分析:
当选择第i个时候,在j<i中,选出a[j]<a[i]的数加入,维护最大长度
状态:dp[i]表示以i为终点的最大上升序列
转移方程:
dp[i] = max{dp[j] | j<i, a[j]<a[i]} + 1;
核心:
for(i = 1; i<=n; i++) { dp[i] = 1; for(j = 1; j<i; j++) { if(a[i]>a[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); } }
代码:
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> #include <string> #include <math.h> #include <algorithm> #include <queue> #include <stack> #include <map> #include <vector> #include <time.h> using namespace std; int v[10000+10]; int dp[10000+10]; int main() { //freopen("a.txt", "r", stdin); int n, i, j, ans; while(~scanf("%d", &n) && n) { for(i = 1; i<=n; i++) { scanf("%d", &v[i]); } ans = 0; memset(dp, 0, sizeof(dp)); for(i = 1; i<=n; i++) { dp[i] = 1; for(j = i-1; j>=1; j--) { if(v[i] > v[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); } ans = max(ans, dp[i]); } printf("%d\n", ans); } return 0; }
二分优化:
如果子序列长度相同,则终点越小,则后面增长的潜能就越大
所以,将长度相同的位置设成其中最小值
状态:dp[i]表示长度为i的序列中终点最小的值
转移:因为dp[i]单调递增,若a[j]>dp[i],则加入其后,若a[j]<dp[i],更新相应终点
优化代码:
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> #include <string> #include <math.h> #include <algorithm> #include <queue> #include <stack> #include <map> #include <vector> using namespace std; #define INF 0x7f7f7f7f #define MAX 1000+10 int a[MAX]; int dp[MAX]; int main() { freopen("a.txt", "r", stdin); int n, i, j; while(~scanf("%d", &n) && n) { fill(dp, dp+n, INF); for(i = 1; i<=n; i++) { scanf("%d", &a[i]); } for(i = 1; i<=n; i++) { *lower_bound(dp, dp+n, a[i]) = a[i]; } printf("%d\n", lower_bound(dp, dp+n, INF) - dp); } return 0; }
PS(有序二分搜索):
1、lower_bound(first, last, value);返回一个指针,指向ai>= value的第一个元素。
2、upper_bound(first, last, value);返回一个指针,指向ai> value的第一个元素。