最长上升子序列的溯源和二分优化

目录

​​(数据范围为1~1000时)​​

​​最长上升子序列的溯源​​

​​(数据范围为1~100000时)​​

---

---

(数据范围为1~1000时)

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N],f[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        cin >> a[i];
        f[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j ++ )
        {
            if(a[j]<a[i] && f[j]+1>f[i]){
                f[i] = f[j]+1;
            }
        }
    }
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ){
        res = max(res, f[i]);
    }
    cout << res;    
    
    return 0;
}

最长上升子序列的溯源

若是想得到最长上升子序列具体是哪几个数,我们就需要在每次更新长度时记下前面那个长度对应的下标,这个过程和 并查集的溯源很像很像

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N],f[N],t[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        cin >> a[i];
        f[i] = 1;
        t[i] = i;
        for (int j = 0; j < i; j ++ )
        {
            if(a[j]<a[i] && f[j]+1>f[i]){
                f[i] = f[j]+1;
                t[i] = j;
            }
        }
    }
    
    int res = 0, last;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ){
        if(f[i] > res){
            res = f[i];
            last = i;
        }
    }
    int i = last;
    cout << res << endl;
    
    cout << a[i] << ' ';
    while (t[i] != i){
        cout << a[t[i]] << ' ';
        i = t[i];
    }
    return 0;
}

(数据范围为1~100000时)

我们依据各个长度对应的序列最后一位数 设立数组f[],

在逐位遍历的过程中按照二分法,找到a[i] 左边最大的小于a[i]的数f[r] , 我们要求的最大长度则是max(r + 1, len)

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int a[N];
int f[N]; 

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    
    int len = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int l = 0, r = len;
        
        while(l < r)
        {
            int mid = (l + r + 1) >> 1;
            
            ///f[len]表示长度是len的最长上升子序列，其结尾的值是f[len]
            //找到最接近但小于a[i]的f[k], 其中k 在 0 ~ i - 1, 这里的k表示子序列的长度, 结尾的值是f[k]
            //也就是f[k] < a[i], f[k]表示子序列倒数第二个数
            if(f[mid] < a[i]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        //长度是r + 1的上升子序列是以a[i]结尾的
        f[r+1] = a[i];
        
        //这里找到了左边最大的小于a[i]的数f[r], 此时的序列长度是原来的长度r 加上 1
        len = max(r + 1, len);
    }
    
    cout << len;
    return 0;
}