【230920-3】求函数y=(x^2-2x-3)/(2x^2+2x+1)的极值

原创

科技之巅 2023-09-20 14:03:07 博主文章分类：数学王国 ©著作权

文章标签 二次函数判别式求极值 文章分类 代码人生

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【数学思路】

对于函数解析式是二次函数的商这种方程，可以用判别式法来求极值。

将函数展开，可知Δ=-4*(y^2-3y+4)>=0, 再得到(y-4)(y+1)<=0,可知y∈[-1,4],由此可知y的最大值为4，最小值为-1.

再将4或-1代回原式可知对应的x值。

【绘图法思路】

直接在Canvas中勾画y=(x^2-2x-3)/(2x^2+2x+1)的图像，可以直观的看出函数的极值。

【图像】

【230920-3】求函数y=(x^2-2x-3)/(2x^2+2x+1)的极值_二次函数判别式求极值

【代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>16.函数y=(x^2-2x-3)/(2x^2+2x+1)图示</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body onload="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="1200px" height="600px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码(从<!DOCTYPE到script>)拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，
* 另存为.html文件，再用chrome浏览器打开，就能看到实现效果。
******************************************************************/
// 画布宽度
const WIDTH=1200;

// 画布高度
const HEIGHT=600;

// 画布环境
var context=0;   

// 缩放比例
const ScaleUnit=50;

// 舞台对象
var stage;

// 消逝的时间
var timeElapsed=0;

// 核心勾画函数，由body_onload调用
function draw(){
    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');   

    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(getRad(180));
    context.scale(-1,1);

    // 之后再移动原点和改变横纵比例
    // 进行坐标原点的平移
    //context.translate(0,0);
    // 进行横纵方向的比例转换
    //context.scale(1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    if(timeElapsed<2000){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
    var obj=new Object;

    obj.prpty={"x":-10,"y":0,"pts":[],"max":-10,"min":10};

    // 随时间更新位置
    obj.update=function(t){
        // xy值是如何变化的
        obj.prpty.x+=0.01;
        obj.prpty.y=(obj.prpty.x*obj.prpty.x-2*obj.prpty.x-3)/(2*obj.prpty.x*obj.prpty.x+2*obj.prpty.x+1);

        // 取极值
        if(obj.prpty.y<obj.prpty.min){
            obj.prpty.min=obj.prpty.y;
        }
        if(obj.prpty.y>obj.prpty.max){
            obj.prpty.max=obj.prpty.y;
        }

        // 放入数组
        let arr={"x":obj.prpty.x,"y":obj.prpty.y};
        this.prpty.pts.push(arr);
    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  
        // 写当前点坐标
        drawText(ctx,"当前 X:"+this.prpty.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.prpty.y.toFixed(3),300,85,"navy",18);

        // 写极值
        drawText(ctx,"max:"+this.prpty.max.toFixed(3)+"  min:"+this.prpty.min.toFixed(3),300,65,"navy",18);

        // 红色曲线y=1.1^x
        paintCurve(ctx,"maroon",this.prpty.pts);
    };

    // 画背景
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"grey");
        
        // 作者，日期
        drawText(ctx,"正弦函数y=(x^2-2x-3)/(2x^2+2x+1)图示",-400,-160,"navy",18);

        drawText(ctx,"逆火",-500,-200,"navy",16);
        drawText(ctx,"2023/9/16",-500,-220,"navy",16);
    };
    
    return obj;
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
      ctx.save();

      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
      ctx.fillStyle=color;
      ctx.fill();
      ctx.stroke();
      ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();

    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;

    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    ctx.restore();
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.beginPath();        
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);
    }         
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);
        
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();

        drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);
        
        drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12);

        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;

    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "aqua"/* aqua湖绿色*/,
        "black"/* black黑色*/,
        "blue"/* blue蓝色*/,
        "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,
        "green"/* green 绿色*/,
        "lime"/* lime 亮绿色*/,
        "maroon"/* maroon 棕色*/,
        "navy"/* navy 海军蓝*/,
        "orange"/* orange 橙色*/,
        "purple"/* purple 紫色*/,
        "red"/* red 大红*/,        
        "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,
        "teal"/* teal 蓝绿色*/,
        "yellow"/* yellow 亮黄*/,
        "#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/,
        "grey"/* grey 草木灰*/,
    ];

    if(index>arr.length){
        index=index % arr.length;
    }

    return arr[index];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}
//-->
</script>

【结论】

数学方法和图像法的极值可以相互印证。

END