【问题】
已知:x,y皆为正实数,且满足2x+y=1 求:1/x+1/y的最小值?
【解答】
解法一:(基本不等式法)
这个问题貌似无从下手,实际把分子的1替换成2x+y就出现我们熟悉的适合基本不等式发挥的场景了。
1/x+1/y=(2x+y)/x+(2x+y)/y=2+y/x+2x/y+1=3+y/x+2x/y>=3+2倍根号下(y/x*2x/y)=3+2倍根号2≈5.828
由于2x+y=1且下x,y皆大于0,故此最小值是取自x∈(0,0.5)区间。
解法二:(判别式法)
由y=1-2x得
f(x)=(x+y)/xy=(x+1-2x)/x/(1-2x)=(1-x)/(x-2x^2)
将f(x)用y替换得y=(1-x)/(x-2x^2)
展开得 2y*x^2-(1+y)*x+1=0
将y视为常数,上式的判别式Δ=(1+y)^2-4*2y=y^2-6y+1
由此得到y=3±2倍根号2,一根≈5.828,一根≈0.172
从几何意义上来说,函数图像与直线y=3±2倍根号2只有一个交点即相切。
此两切点必是函数分区段的最值。
【函数图像】
由基本不等式法得到了x,y皆大于零时,表达式1/x+1/y的最小值3+2倍根号2
由判别式法除了上述结论,还得出另一个最大值3-2倍根号2
究竟真相如何还需要绘出实际的函数图像来判断。
由y=1-2x代入得f(x)=1/x+1/(1-2x)
有此表达式我们就能轻松绘出函数图像
由分母部分可见,x不能等于0或0.5,因此图线有两个断点,会被分为(-∞,0)∪(0,0.5)∪(0.5,+∞)三部分
实际函数图像如下:
由上图可见,在(-∞,0)区间,函数单调递减,无最大最小值(图上出现max是因为取值范围所限);
在(0,0.5)区间,最小值是5.829,这个结论两种方法都得到了;
在(0.5,+∞)区间,函数有最大值0.172,这个结论由判别式法找到了。
【代码】
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
<title>UNASSIGNED</title>
<style type="text/css">
.centerlize{
margin:0 auto;
border:0px solid red;
width:1200px;height:600px;
}
</style>
</head>
<body onload="draw();">
<div class="centerlize">
<canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas,请更换浏览器再试.
</canvas>
</div>
</body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
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* 再用chrome浏览器打开,就能看到动画效果。
******************************************************************/
// 系统常量定义处
const TITLE="函数y=1/x+1/(1-2x) 图线展示"; // 图像标题
const WIDTH=1200; // 画布宽度
const HEIGHT=600; // 画布高度
const ScaleUnit=25; // 缩放比例
// 系统变量定义处
var context=0; // 画布环境
var stage; // 舞台对象
var timeElapsed=0; // 消逝的时间
//-------------------------------
// Canvas开始运作,由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
document.title=TITLE;
// 画图前初始化
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
canvas.width=WIDTH;
canvas.height=HEIGHT;
context=canvas.getContext('2d');
// 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
// 处置完成前,原点在左上角,向右为X正向,向下为Y的正向
// 处置完毕后,原点移动到画布中央,向右为X正向,向上为Y的正向
context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
context.rotate(Math.PI);
context.scale(-1,1);
// 初始化舞台
stage=new Stage();
// 开始动画
animate();
};
//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){
timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1
stage.update(timeElapsed);
stage.paintBg(context);
stage.paint(context);
if(timeElapsed<2400){
window.requestAnimationFrame(animate);
}
}
//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
var obj=new Object;
obj.curve1={
name:"曲线:y=1/x+1/(1-2x)",
x:-12,
y:0,
color:"maroon",
setY:function(x){
this.y=1/x+1/(1-2*x);// 解析式
// 制成坐标
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(coord.x<0){
this.pts0.push(coord);
}else if(0<coord.x && coord.x<0.5){
this.pts1.push(coord);
}else if(coord.x>0.5){
this.pts2.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
"pts2":[],
};
// 随时间更新位置
obj.update=function(t){
// 记录曲线1的xy值
obj.curve1.x+=0.01;
obj.curve1.setY(obj.curve1.x);
};
// 画前景
obj.paint=function(ctx){
// 写曲线名称
drawText(ctx,this.curve1.name,-400,145,this.curve1.color,18);
// 写当前点坐标
drawText(ctx,"当前 X:"+this.curve1.x.toFixed(3)+" Y:"+this.curve1.y.toFixed(3),-400,125,this.curve1.color,18);
// 绘制第一段曲线
paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts0);
var mm=findMaxMin(this.curve1.pts0);
markMaxMin(ctx,mm,"black");
// 绘制第二段曲线
paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts1);
var mm=findMaxMin(this.curve1.pts1);
markMaxMin(ctx,mm,"black");
// 绘制第三段曲线
paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts2);
var mm=findMaxMin(this.curve1.pts2);
markMaxMin(ctx,mm,"black");
};
// 画背景
obj.paintBg=function(ctx){
// 清屏
ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
ctx.fillStyle="white";
ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);
// 画X轴
drawAxisX(ctx,-600,600,50);
// 画Y轴
drawAxisY(ctx,-300,300,50);
// 画网格线
drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"lightGrey");
// 左上角标题
var metrics = ctx.measureText(TITLE);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18);
// 右下角作者,日期
const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
};
return obj;
}
// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
ctx.strokeStyle = color;
ctx.beginPath();
for(var i=0; i<cds.length; i++){
let y=cds[i].y;
if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){
ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);
}
}
ctx.stroke();
}
// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
if(cds.length<1){
return null;
}
var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};
for(var i=0;i<cds.length;i++){
var y=cds[i].y;
if(y>retval.max){
retval.max=y;
retval.max_x=cds[i].x;
}
if(y<retval.min){
retval.min=y;
retval.min_x=cds[i].x;
}
}
return retval;
}
// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
if(mm==null){
return;
}
// 最大值
var x=mm.max_x;
var y=mm.max;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,"black",12);
// 最小值
var x=mm.min_x;
var y=mm.min;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,"black",12);
}
// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
ctx.fillStyle=color;
ctx.fill();
ctx.stroke();
ctx.restore();
}
// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.fillStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1,y1);
ctx.lineTo(x2,y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
ctx.restore();
}
// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle='navy';
ctx.fillStyle='navy';
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(start, 0);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
y=5;
for(x=start;x<end;x+=step){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, 0);
ctx.lineTo(x, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12);
}
ctx.restore();
}
// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle='navy';
ctx.fillStyle='navy';
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(0, start);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
x=5;
for(y=start;y<end;y+=step){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y);
ctx.lineTo(0, y);
drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
ctx.restore();
}
// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.fillStyle=color;
ctx.setLineDash([4,4]);// 设置虚线
var x,y;
for(x=x1;x<x2;x+=step1){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
return degree/180*Math.PI;
}
//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
var arr=[
"aqua"/* aqua湖绿色*/,
"black"/* black黑色*/,
"blue"/* blue蓝色*/,
"fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,
"green"/* green 绿色*/,
"grey"/* grey 草木灰*/,
"lime"/* lime 亮绿色*/,
"maroon"/* maroon 棕色*/,
"navy"/* navy 海军蓝*/,
"orange"/* orange 橙色*/,
"purple"/* purple 紫色*/,
"red"/* red 大红*/,
"skyblue"/* skyblue 天蓝*/,
"teal"/* teal 蓝绿色*/,
"yellow"/* yellow 亮黄*/,
"#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/,
];
if(index>arr.length){
index=index % arr.length;
}
return arr[index];
}
//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
ctx.save();
ctx.translate(x,y)
ctx.rotate(getRad(180))
ctx.scale(-1,1)
ctx.textBaseline="bottom";
ctx.textAlign="center";
ctx.fillStyle=color;
ctx.font = size+"px consolas";
ctx.fillText(text,0,0);
ctx.restore();
}
//-->
/**************************************
* 一个再出色的人,长期再差的关系和环境
* 中浸泡沤烂,也会变得暗淡无光、神经兮兮
* 、歇斯底里,人要到托举和滋养他的地方去。
* 身在井隅,心向璀璨。
**************************************/
</script>