题目：

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums，其数字都在 1 到 n 之间（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。假设只有一个重复的整数，找出这个重复的数。

示例 1:


输入: [1,3,4,2,2] 输出: 2


示例 2:


输入: [3,1,3,4,2] 输出: 3


说明：

  1. 不能更改原数组（假设数组是只读的）。
  2. 只能使用额外的 O(1) 的空间。
  3. 时间复杂度小于 O(n2) 。
  4. 数组中只有一个重复的数字，但它可能不止重复出现一次。

思路：

我们先假设一个如果排序好的数组中，你如果取中间的数字，那么如果你的这个中间数 是要比当前的索引的坐标大的话，那么就是也就是nums[i] > i，那么就是说明那个重复的数字是在后半部分的，因为只有在后半部分有重复数字存在的时候，才会多出一个数字来，那么我们就用二分法，把start取到中点位置，继续寻找；反之，那个重复的数字是在前半部的。
因为我们这数组是没排序的数组，那么我们根据上面的那个计数的思想，我们先取一个取值范围，如果数组里面的所有元素，看取值在这个取值范围的元素个数，等于这个取值范围的区间，那么就表示这个取值范围内不存在重复元素，我们要取别的区间的，继续计数。

java代码：

class Solution {
     public int findDuplicate(int[] nums) {
    int start = 1;
    int end = nums.length;
    while (start <= end) {
//            取中值
        int middle = start + ((end - start) >> 1);
//            计算从开始值到中值区间内有多少数字。
        int tempCount = countRange(nums, start, middle);
//            如果区间已经缩小的到了只有一个数了，那么就可以判断在区间内的数字是不是有两个了。
        if (start == end) {
            if (tempCount > 1) {
                return start;
            } else {
                break;
            }
        }

//            区间就是 中值- 开始值 + 1。然后开始和计数比较。
        int range = middle - start + 1;
        if (tempCount > range) {
            end = middle;
        } else if (tempCount <= range) {
            start = middle + 1;
        }
    }
    return -1;
}

//    计数比较，时间复杂度为O(n)
private int countRange(int[] nums, int start, int end) {
    int count = 0;
    for (int item : nums) {
        if (item >= start && item <= end ) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}
}

以上的时间复杂度是$O(NlogN)$ ，二分的时间复杂度是$O(logN)$，每次计数的时间复杂度是$O(N)$。