本文学习资源来自《概率论基本(李贤平)》
一、 模型与计算公式
在讨论一般随机现象之前,我们先讨论一类最简单的随机现象:
1. 在试验中它的全部可能结果只有有限个,譬如为
n
n
个,记为E1,E2,⋯,EnE1,E2,⋯,En,而且这些事件是两两互不相容的;
2. 事件
E1,E2,⋯,En
E
1
,
E
2
,
⋯
,
E
n
的发生或出现是等可能的,即它们发生的概率都一样。
这类随机现象在概率论发展初期即被注意,许多最初的概率论结果也是对它作出的,一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型。
古典概型是有限样本空间的一种特例。可以选
Ω=E1,E2,⋯,En
Ω
=
E
1
,
E
2
,
⋯
,
E
n
作为样本空间,而且此时应有:
P(E1)=P(E2)=⋯=P(En)=1n
P
(
E
1
)
=
P
(
E
2
)
=
⋯
=
P
(
E
n
)
=
1
n
对于任何事件 A A ,它总可以表示为样本点之和,例如A=Ei1+Ei2+⋯+EimA=Ei1+Ei2+⋯+Eim,因此由事件概率的定义:
P(A)=P(Ei1)+P(Ei2)+⋯+P(Eim)=1n+1n+⋯+1n=mn
P
(
A
)
=
P
(
E
i
1
)
+
P
(
E
i
2
)
+
⋯
+
P
(
E
i
m
)
=
1
n
+
1
n
+
⋯
+
1
n
=
m
n
所以在古典概型中,事件 A A 的概率是一个分数,其分母是样本点的总数nn,而分子是事件 A A 中所包含的样本点个数mm,由于 Ei1,Ei2,⋯,Eim E i 1 , E i 2 , ⋯ , E i m 的出现必导致 A A 的出现,即它们的出现对AA的出现“有利”,因此习惯上常称 Ei1,Ei2,⋯,Eim E i 1 , E i 2 , ⋯ , E i m 是 A A 的“有利场合”,这样:
P(A)=mn=A的有利场合的数目样本点总数P(A)=mn=A的有利场合的数目样本点总数
法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义。现在通常称它为概率的古典定义,因为它只适用于古典概型场合。
古典概型有着多方面应用,产品抽样检查就是其中之一。
例如: 有一个口袋,内装 a a 只黑球,bb只白球,它们除颜色不同外,外形完全一样(以后若非特别声明,均作此假定)。这样一来,当我们从袋子中任意找出一球时,这 a+b a + b 只球中的任意一只被摸到的可能性都一样。
若把黑球作为废品、白球作为好品,则这个摸球模型就可以描述产品抽样。假如产品分为更多等级,例如一等品、二等品,三等品,等外品等等,则可用装有多种颜色的球的口袋的摸球模型来描述。
这种模型化的方法能使问题更清楚,更容易看出其随机性本质而不致被个别情况下的具体属性所蒙蔽。不仅如此,这种抽象化的模型带有普遍性,它还可以描述许多别的具体问题,从而有着多方面应用。例如种水稻地块的调查,某种疾病的抽查等都能用这个模型。
事件上,古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述。以后我们经常研究摸球模型,意义即在于此。
二、 基本的组合分析公式
1. 全部组合分析公式的推导基于下列两条原理:
乘法原理 : 若进行 A1 A 1 过程有 n1 n 1 种方法,进行 A2 A 2 过程有 n2 n 2 种方法,则进行 A1 A 1 过程后再接着进行 A2 A 2 过程共有 n1∗n2 n 1 ∗ n 2 种方法。
加法原理 : 若进行 A1 A 1 过程有 n1 n 1 种方法,进行 A2 A 2 过程有 n2 n 2 种方法,假定 A1 A 1 过程与 A2 A 2 过程是并行的,则进行过程 A1 A 1 或过程 A2 A 2 的方法共有 n1+n+2 n 1 + n + 2 种。
2. 排列:
从包含有 n n 个元素的总体中取出rr个来进行排列,这时既要考虑到取出的元素也要顾及其取出顺序。
这种排列可分为两类:第一种是有放回的选取,这时每次选取都是在全体元素中进行,同一元素可被重复选中;另一种是不放回选取,这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去,因此每个元素至多被选中一次,在后一种情况,必有
r≤n
r
≤
n
。
(1) 在有放回选取中,从
n
n
个元素中取出rr个元素进行排列,这种排列称为有重复的排列,其总数共有
nr
n
r
种。
(2) 在不放回选取中,从
n
n
个元素中取出rr个元素进行排列,其总数为:
Arn=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)
A
n
r
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
r
+
1
)
这种排列称为
选排列。特别当
r=n
r
=
n
时,称为
全排列。
(3)
n
n
个元素的全排列数为
Pn=n(n−1)⋯3⋅2⋅1=n!Pn=n(n−1)⋯3⋅2⋅1=n!
3. 组合:
(1)从 n n 个元素中取出rr个元素而不考虑其顺序,称为组合,其总数为:
Crn=(nr)=Arnr!=n(n−1)⋯(n−r+1)r!=n!r!(n−r)!
C
n
r
=
(
n
r
)
=
A
n
r
r
!
=
n
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
r
+
1
)
r
!
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
这里
(nr)
(
n
r
)
是二项展开式的系数,
(a+b)n=∑nr=0(nr)arbn−r
(
a
+
b
)
n
=
∑
r
=
0
n
(
n
r
)
a
r
b
n
−
r
(2)若
r1+r2+⋯+rk=n
r
1
+
r
2
+
⋯
+
r
k
=
n
,把
n
n
个不同的元素分成kk个部分,第一部分
r1
r
1
个,第二部分
r2
r
2
个,……第
k
k
部分rkrk个,则不同的分法有:
n!r1!r2!⋯rk!
n
!
r
1
!
r
2
!
⋯
r
k
!
种,上式中的数称为多项系数,因为它是
x1+x2+⋯+xk)n
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
k
)
n
展开式中
xr11xr22⋯xrkk
x
1
r
1
x
2
r
2
⋯
x
k
r
k
的系数,当
k=2
k
=
2
时,即为组合数。
(3) 若
n
n
个元素中有n1n1个带足标“1”,
n2
n
2
个带足标“2”,……
nk
n
k
个带足标
"k"
"
k
"
,且
n1+n2+⋯+nk=n
n
1
+
n
2
+
⋯
+
n
k
=
n
,从这
n
n
个元素中取出rr个,使得带有足标
“i"
“
i
"
的元素有
ri
r
i
个(
1≤i≤k
1
≤
i
≤
k
),而
r1+r2+⋯+rk=r
r
1
+
r
2
+
⋯
+
r
k
=
r
,这时不同取法的总数为:
(n1r1)(n2r2)⋯(nkrk)
(
n
1
r
1
)
(
n
2
r
2
)
⋯
(
n
k
r
k
)
这里当然要求
ri≤ni
r
i
≤
n
i
(4)从
n
n
个元素中有重复地取rr个,不计顺序,则不同的取法有:
(n+r−1r)
(
n
+
r
−
1
r
)
种,这个数称为有重复组合数。
4. 常用等式
(n0)2+(n1)2+⋯+(nn)2=(2nn)
(
n
0
)
2
+
(
n
1
)
2
+
⋯
+
(
n
n
)
2
=
(
2
n
n
)
三、 概率直接计算的例子
[例1]
一部四册的文集按任意次序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少?
[解] 若以
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
分别表示自左向右排列的书的册号,则上述文集旋转的方式可与向量
(a,b,c,d)
(
a
,
b
,
c
,
d
)
建立一一对应,因为
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
取值于
1,2,3,4
1
,
2
,
3
,
4
,因此这种向量的总数相当于4个元素的全排列数
4!=24
4
!
=
24
,由于文集按”任意的“次序放到书架上去,因此这24种排列中出现任意一种的可能性都相同,这是古典概型概率,其有利场合有2种,即自左向右或自右向左成1,2,3,4顺序,因此所求概率为
224=112
2
24
=
1
12
[例2]
有10个电阻,其电阻值分别为
1Ω,2Ω,⋯,10Ω
1
Ω
,
2
Ω
,
⋯
,
10
Ω
,从中取出三个,要求取出的三个电阻,一个小于
5Ω
5
Ω
,一个等于
5Ω
5
Ω
,另一个大于
5Ω
5
Ω
,问取一次就能达到要求的概率。
[解] 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体,这是古典概型,其总数为
(103)
(
10
3
)
,有利场合为
(41)(11)(51)
(
4
1
)
(
1
1
)
(
5
1
)
,故所求概率为:
p=(41)(11)(51)(103)=16
p
=
(
4
1
)
(
1
1
)
(
5
1
)
(
10
3
)
=
1
6