本文学习资源来自《概率论基本(李贤平)》

一、 模型与计算公式

在讨论一般随机现象之前,我们先讨论一类最简单的随机现象:
1. 在试验中它的全部可能结果只有有限个,譬如为 n n 个,记为E1,E2,⋯,EnE1,E2,⋯,En,而且这些事件是两两互不相容的;
2. 事件 E1,E2,⋯,En E 1 , E 2 , ⋯ , E n 的发生或出现是等可能的,即它们发生的概率都一样。

这类随机现象在概率论发展初期即被注意,许多最初的概率论结果也是对它作出的,一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型。
古典概型是有限样本空间的一种特例。可以选 Ω=E1,E2,⋯,En Ω = E 1 , E 2 , ⋯ , E n 作为样本空间,而且此时应有:

P(E1)=P(E2)=⋯=P(En)=1n P ( E 1 ) = P ( E 2 ) = ⋯ = P ( E n ) = 1 n

对于任何事件 A A ,它总可以表示为样本点之和,例如A=Ei1+Ei2+⋯+EimA=Ei1+Ei2+⋯+Eim,因此由事件概率的定义:

P(A)=P(Ei1)+P(Ei2)+⋯+P(Eim)=1n+1n+⋯+1n=mn P ( A ) = P ( E i 1 ) + P ( E i 2 ) + ⋯ + P ( E i m ) = 1 n + 1 n + ⋯ + 1 n = m n

所以在古典概型中,事件 A A 的概率是一个分数,其分母是样本点的总数nn,而分子是事件 A A 中所包含的样本点个数mm,由于 Ei1,Ei2,⋯,Eim E i 1 , E i 2 , ⋯ , E i m 的出现必导致 A A 的出现,即它们的出现对AA的出现“有利”,因此习惯上常称 Ei1,Ei2,⋯,Eim E i 1 , E i 2 , ⋯ , E i m 是 A A 的“有利场合”,这样:

P(A)=mn=A的有利场合的数目样本点总数P(A)=mn=A的有利场合的数目样本点总数

法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义。现在通常称它为概率的古典定义,因为它只适用于古典概型场合。
古典概型有着多方面应用,产品抽样检查就是其中之一。

例如: 有一个口袋,内装 a a 只黑球,bb只白球,它们除颜色不同外,外形完全一样(以后若非特别声明,均作此假定)。这样一来,当我们从袋子中任意找出一球时,这 a+b a + b 只球中的任意一只被摸到的可能性都一样。

若把黑球作为废品、白球作为好品,则这个摸球模型就可以描述产品抽样。假如产品分为更多等级,例如一等品、二等品,三等品,等外品等等,则可用装有多种颜色的球的口袋的摸球模型来描述。

这种模型化的方法能使问题更清楚,更容易看出其随机性本质而不致被个别情况下的具体属性所蒙蔽。不仅如此,这种抽象化的模型带有普遍性,它还可以描述许多别的具体问题,从而有着多方面应用。例如种水稻地块的调查,某种疾病的抽查等都能用这个模型。

事件上,古典概型的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述。以后我们经常研究摸球模型,意义即在于此。

二、 基本的组合分析公式

1. 全部组合分析公式的推导基于下列两条原理:

乘法原理 : 若进行 A1 A 1 过程有 n1 n 1 种方法,进行 A2 A 2 过程有 n2 n 2 种方法,则进行 A1 A 1 过程后再接着进行 A2 A 2 过程共有 n1∗n2 n 1 ∗ n 2 种方法。

加法原理 : 若进行 A1 A 1 过程有 n1 n 1 种方法,进行 A2 A 2 过程有 n2 n 2 种方法,假定 A1 A 1 过程与 A2 A 2 过程是并行的,则进行过程 A1 A 1 或过程 A2 A 2 的方法共有 n1+n+2 n 1 + n + 2 种。

2. 排列:

从包含有 n n 个元素的总体中取出rr个来进行排列,这时既要考虑到取出的元素也要顾及其取出顺序。

这种排列可分为两类:第一种是有放回的选取,这时每次选取都是在全体元素中进行,同一元素可被重复选中;另一种是不放回选取,这时一个元素一旦被取出便立刻从总体中除去,因此每个元素至多被选中一次,在后一种情况,必有 r≤n r ≤ n 。
(1) 在有放回选取中,从 n n 个元素中取出rr个元素进行排列,这种排列称为有重复的排列,其总数共有 nr n r 种。
(2) 在不放回选取中,从 n n 个元素中取出rr个元素进行排列,其总数为:

Arn=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1) A n r = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − r + 1 )


这种排列称为

选排列。特别当

r=n r = n 时,称为

全排列


(3)

n n 个元素的全排列数为

Pn=n(n−1)⋯3⋅2⋅1=n!Pn=n(n−1)⋯3⋅2⋅1=n!

3. 组合:

(1)从 n n 个元素中取出rr个元素而不考虑其顺序,称为组合,其总数为:


Crn=(nr)=Arnr!=n(n−1)⋯(n−r+1)r!=n!r!(n−r)! C n r = ( n r ) = A n r r ! = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − r + 1 ) r ! = n ! r ! ( n − r ) !


这里

(nr) ( n r ) 是二项展开式的系数, (a+b)n=∑nr=0(nr)arbn−r ( a + b ) n = ∑ r = 0 n ( n r ) a r b n − r

(2)若

r1+r2+⋯+rk=n r 1 + r 2 + ⋯ + r k = n ,把 n n 个不同的元素分成kk个部分,第一部分 r1 r 1 个,第二部分 r2 r 2 个,……第 k k 部分rkrk个,则不同的分法有:


n!r1!r2!⋯rk! n ! r 1 ! r 2 ! ⋯ r k !


种,上式中的数称为多项系数,因为它是

x1+x2+⋯+xk)n x 1 + x 2 + ⋯ + x k ) n 展开式中 xr11xr22⋯xrkk x 1 r 1 x 2 r 2 ⋯ x k r k 的系数,当 k=2 k = 2 时,即为组合数。


(3) 若

n n 个元素中有n1n1个带足标“1”, n2 n 2 个带足标“2”,…… nk n k 个带足标 "k" " k " ,且 n1+n2+⋯+nk=n n 1 + n 2 + ⋯ + n k = n ,从这 n n 个元素中取出rr个,使得带有足标 “i" “ i " 的元素有 ri r i 个( 1≤i≤k 1 ≤ i ≤ k ),而 r1+r2+⋯+rk=r r 1 + r 2 + ⋯ + r k = r ,这时不同取法的总数为:


(n1r1)(n2r2)⋯(nkrk) ( n 1 r 1 ) ( n 2 r 2 ) ⋯ ( n k r k )


这里当然要求

ri≤ni r i ≤ n i

(4)从

n n 个元素中有重复地取rr个,不计顺序,则不同的取法有:


(n+r−1r) ( n + r − 1 r )


种,这个数称为有重复组合数。

4. 常用等式


(n0)2+(n1)2+⋯+(nn)2=(2nn) ( n 0 ) 2 + ( n 1 ) 2 + ⋯ + ( n n ) 2 = ( 2 n n )

三、 概率直接计算的例子

[例1]

一部四册的文集按任意次序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成1,2,3,4的顺序的概率是多少?
[解] 若以 a,b,c,d a , b , c , d 分别表示自左向右排列的书的册号,则上述文集旋转的方式可与向量 (a,b,c,d) ( a , b , c , d ) 建立一一对应,因为 a,b,c,d a , b , c , d 取值于 1,2,3,4 1 , 2 , 3 , 4 ,因此这种向量的总数相当于4个元素的全排列数 4!=24 4 ! = 24 ,由于文集按”任意的“次序放到书架上去,因此这24种排列中出现任意一种的可能性都相同,这是古典概型概率,其有利场合有2种,即自左向右或自右向左成1,2,3,4顺序,因此所求概率为 224=112 2 24 = 1 12

[例2]

有10个电阻,其电阻值分别为 1Ω,2Ω,⋯,10Ω 1 Ω , 2 Ω , ⋯ , 10 Ω ,从中取出三个,要求取出的三个电阻,一个小于 5Ω 5 Ω ,一个等于 5Ω 5 Ω ,另一个大于 5Ω 5 Ω ,问取一次就能达到要求的概率。
[解] 把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体,这是古典概型,其总数为 (103) ( 10 3 ) ,有利场合为 (41)(11)(51) ( 4 1 ) ( 1 1 ) ( 5 1 ) ,故所求概率为:

p=(41)(11)(51)(103)=16 p = ( 4 1 ) ( 1 1 ) ( 5 1 ) ( 10 3 ) = 1 6