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离散数据的期望
离散数据的期望值是对所有可能取值的加权平均。其中权重是每个取值出现的概率。
遍历样本空间X，假设每个样本x出现的概率为p(x)，对期望的贡献是f(x),那么基于离散数据的期望可以使用一个求和符合来表示。
每个样本对期望的贡献为1，给定一个假设，遍历样本空间求期望。所以先遍历假设空间，再遍历样本空间。
连续数据求期望
假设你有一个连续随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则 X 的期望值 E(X) 可以计算如下：
其中，x 是随机变量 X 的取值，f(x) 是其概率密度函数。
求和符合位置的移动
在某些情况下，求和符号的位置可以移动，而在其他情况下则不行。这取决于具体的情况和数学性质。
1. 交换律和结合律：如果要对同一系列项进行求和，而这些项满足可交换性，那么求和符号的位置是可以移动的。
2. 分配律：如果求和符号与其他数学运算（如乘法）结合时满足分配律，那么求和符号的位置也是可以移动的。
根据变量的作用域来移动求和符合，使后面公式中出现的变量必须在前面的求和符号中出现。
均匀分布
均匀分布（Uniform Distribution）是概率论的一种概率分布。在均匀分布中，所有可能的结果都有相等的概率出现，即每个结果出现的概率都是一样的。均匀分布可以在有限区间内或者无限区间内进行定义。
离散均匀分布： 在离散均匀分布中，随机变量可以取有限个离散的值，每个值的概率都相等。
连续均匀分布： 在连续均匀分布中，随机变量可以在一个连续的区间内取任何值，而且在这个区间内的任何子区间上的概率是相等的。
调和平均
调和平均使用了各数的倒数来计算平均值。对于一组数字 x1,x2,...,xn,它们的调和平均 H 可以通过以下公式计算：
调和平均对于较大的数值会有较大的影响。当其中一个数接近零时，它的倒数会变得非常大，从而使整个调和平均被拉低。
加权调和平均
在加权调和平均中，每个数都与一个相应的权重相乘，然后再进行调和平均的计算。可以使某些数对平均值的贡献更大，而另一些数的贡献较小。
对于一组数字 x1,x2,…,xn，以及它们对应的权重 w1,w2,…,wn，加权调和平均 W 可以通过以下公式计算：
