【概率论】概率论的基本概念

原创

烧灯续昼2002 2022-09-26 22:21:45 博主文章分类：概率论 ©著作权

文章标签 样本空间贝叶斯公式互斥概率论数学 文章分类 考试认证 yyds干货盘点

©著作权归作者所有：来自51CTO博客作者烧灯续昼2002的原创作品，请联系作者获取转载授权，否则将追究法律责任

随机试验、样本空间与随机事件

一、随机试验的概念

可以在相同的条件下重复进行
每次试验结果可能不止一个，并且能事先明确试验所有可能结果
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验

二、样本空间的概念

对于随机事件，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是一已知的，我们将试验所有结果组成的集合称为样本空间，样本空间的元素，即每个试验结果称为样本点

三、随机事件的概念

一般地，我们称试验样本空间的子集为试验的随机事件，简称事件，一个样本点组成的单点集，称为基本事件，如果样本空间中包含的样本点$S$为它自身的子集，那么在每次试验中$S$必定发生，称$S$为必然事件，空集$\varnothing$不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称$\varnothing$为不可能事件

四、事件之间的关系

1. 事件的包含

如果事件$A$的发生必然导致事件$B$的发生，则称事件$B$包含事件$A$，或称事件$A$包含于事件$B$，就走$B \supset A$或者$A \subset B$

2. 事件的相等

如果$A\supset B$和$B\supset A$同时成立，则称事件$A$和事件$B$相等，记作$A=B$

3. 事件的交

如果事件$A$与事件$B$同时发生，则称这样的一个事件为事件$A$与事件$B$的交或积，记作$A \cap B$或者$AB$

4. 互斥事件

如果事件$A$与事件$B$的关系为$AB=\varnothing$，即$A$与$B$不能同时发生，则称事件$A$与事件$B$互斥或者互不相容

5. 事件的并

如果事件$A$与事件$B$至少有一个发生，则称这样的事件为事件$A$与事件$B$的并或者和，记作$A \cup B$

6. 对立事件

如果事件$A$与事件$B$有且仅有一个发生，即同时成立$A \cup B=\Omega$，且$A \cap B=\varnothing$，则称事件$A$与事件$B$为对立事件或互逆事件，记作$B=\bar{A}$或者$A=\bar{B}$

7. 事件的差

事件$A$发生而事件$B$不发生称为事件$A$与事件$B$的差，记作$A-B$

五、事件的运算规律

交换律：$A \cup B=B \cup A,A \cap B=B \cap A$
结合律：$A \cup (B \cap C)=(A\cup B)\cup C,A \cap(B \cap C)=(A \cap B)\cap C$
分配律：$A \cup(B \cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),A \cap(B \cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
对偶律（德摩根律）：$\overline{A \cup B}= \overline{A}\cap \overline{B}, \overline{A \cap B}= \overline{A}\cup \overline{B}$（显示问题这里上面有横线）

长杠变短杠，开口换方向

事件的概率

一、概率的定义

设$E$是随机试验，$S$是它的样本空间，对于$E$的每一事件$A$赋予一个实数，记为$P(A)$，称为事件$A$的概率，事件的概率满足下列条件：

非负性：对于每一事件$A$，都有$P(A)\geq 0$
规范性：对于必然事件$S$，有$P(S)=1$
可列可加性：设$A_1,A_2,\cdots$是两两互不相容的事件，即对于$A_iA_j=\varnothing,i\ne j,\space i,j=1,2,\cdots$，有$P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots$

二、概率的性质

$P(\varnothing)=0$
若$A_1,A_2.\cdots,A_n$是两两互不相容的事件，则有$P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots\cup A_{n})=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)$
设$A,B$是两个事件，若$A\subset B$，则有$P(B)\geq P(A)$
对于任一事件$A$，$P(A)\leq1$
对于任一事件$A$，有$P(\bar{A})=1-P(A)$
对于任意两事件$A,B$，$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

推广：对于任意三事件$A,B,C$，有$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

古典概型

一、等可能概型

1. 定义

若试验中的样本空间只包含有限个元素，且试验中每个基本事件发生的可能性相同，我们把具有以上两个特点的试验称为等可能概型，其在为研究概率论初期的主要研究对象，因此也称其为古典概型

2. 计算公式

设试验样本空间为$S={e_1,e_2,\cdots,e_n}$，由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有$P({e_1})=P({e_2})=\cdots=P({e_n})$
因为两两事件为互不相容的，所以$P(S)=P({e_1})+P({e_2})+\cdots+P({e_n})=1$，即$P({e_{i}})=\frac{1}{n}(i=1,2,\cdots,n)$
若事件$A$包含$k$个基本事件，即$P(A)=\frac{k}{n}=\frac{A \text{包含的基本事件数}}{S\text{中基本事件的总数}}$

例1：将枚硬币抛掷三次，设事件$A$为“至少有一次出现正面”，求$P(A)$

$P(A)=1-P(\bar{A})=1-(\frac{1}{2})^3=\frac{7}{8}$

例2：将$n$只球随机的放入$N(N>n)$个盒子中去，试求每个盒子至多有一个球的概率

$P=\frac{A^{n}_{N}}{N^{n}}$

例3：袋中有$a$只白球，$b$只红球，$k$个人依次在袋中取一只球（$k=a+b$），取后不放回进行抽球，求第$i(i=1,2,\cdots,k)$人取到白球（记为事件$B$）的概率

$P(B)=\frac{a\cdot (a+b-1)!}{(a+b)!}=\frac{a}{a+b}$

条件概率

## 一、定义

设$A,B$是两个事件，且$P(A)>0$，称$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$为在事件$A$发生的条件下事件$B$发生的概率

二、性质

非负性：对于每一事件$B$，有$P(B|A)\geq0$
规范性：对于必然事件$S$，有$P(S|A)=1$
可列可加性：设$B_1,B_2,\cdots$是两两互不相容的事件，则有$P(\bigcup^\infty_{i=1}B_{i}|A)=\sum\limits^{\infty}_{i=1}P(B_i|A)$

三、乘法

设$P(A)>0$，则有$P(AB)=P(B|A)P(A)$，将上式称为乘法公式

推广

设$A,B,C$为事件，且$P(AB)>0$，则$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$
设$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$为$n$个时间，$n\geq2$，且$P(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n-1})>0$，则有$P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})=P(A_{n}|A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1})P(A_{n-1}|A_{1}A_{2}\cdots A_{n-2})\cdots P(A_{2}|A_{1})P(A_{1})$

设1：设袋中有$r$只红球，$t$只白球，每次从袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入$a$只与所取的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一。第二次取得红球且第三、四次取到白球的概率

设$A_{i}$表示第$i$次取得红球，$\bar A_{i}$为第$i$次取得白球

$\begin{aligned}P(A_{1}A_{2}\bar A_{3}\bar A_{4})&=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(\bar A_{3}|A_{1}A_{2})P(\bar A_{4}|\bar A_{3}A_{2}A_{1})\&=\frac{r}{r+t}\frac{r+a}{r+t+a}\frac{t}{r+t+2a}\frac{t+a}{r+t+3a}\end{aligned}$

四、全概率公式和贝叶斯公式

1. 全概率公式

设试验$E$的样本空间为$S$，$A$为$E$的事件，$B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$为$S$的一个划分，且$P(B_{i})>0(i=1,2,\cdots,n)$，则$P(A)=\sum\limits^{n}{i=1}P(B{i})P(A|B_{i})$，称为全概率公式

推导：

$\begin{aligned}P(A)&=P(A\cdot\Omega)\&=P(A\cdot\bigcup^n_{i=1}B_{i})\&=\sum\limits^n_{i=1}P(AB_{i})\&=\sum\limits^{n}{i=1}P(B{i})P(A|B_{i})\end{aligned}$

2. 贝叶斯公式

设试验$E$的样本空间为$S$，$A$为$E$的事件，$B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$为$S$的一个划分，且$P(B_{i})>0(i=1,2,\cdots,n)$，则$P(B_{i}|A)=\frac{P(A|B_{i})P(B_{i})}{\sum\limits^{n}{j=1}P(A|B{j})P(B_{j})}$，该式称为贝叶斯公式

推导：

该式意为，已知$A$发生了，问是$B_{i}$导致的概率

$\begin{aligned}P(B_{i}|A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(A|B_{i})P(B_{i})}{\sum\limits^{n}{j=1}P(A|B{j})P(B_{j})}\end{aligned}$

例2：有两个盒子，第一盒中装有$2$个红球，$1$个白球，第二盒中装有一半红球，一半白球，现从两盒中个任取一球放在一起，再从中取一球，问：

这个求是红球的概率

全概率公式用于求无条件一个事件的概率

$\begin{aligned}P(A)&=P(A\cdot \Omega)\&=P(B_{1})P(A|B_{1})+P(B_{2})P(A|B_{2})\&=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}+ \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{7}{12}\end{aligned}$